Układ łańcuchowy

Z Wikipedii

Układ łańcuchowy to pojęcie związane z robotami mobilnymi i oznacza sposób na przedstawienie zależności pomiędzy położeniem i orientacją robota w przestrzeni, a sygnałami sterującymi. Wzór na układ łańcuchowy używany jest m.in. w algorytmie sterowania sinusoidalnego.

[edytuj] Definicja

Układem łańcuchowym nazywamy układ równań różniczkowych w postaci:

$\frac{dx_1}{dt}=u_1$

$\frac{dx_2}{dt}=u_2$

$\frac{dx_3}{dt}=x_2u_1$

$\frac{dx_3}{dt}=x_3u_1$

...

$\frac{dx_n}{dt}=x_{n-1}u_1$

Układ taki ma n zmiennych i dwa sterowania, za pomocą których należy ustawić wszystkie zmienne na określonych pozycjach. Powyższe równania można także przedstawić jako układ bezdryfowy:

$\frac{dx}{dt}=g(x)u$ , gdzie:

$g_1(x)=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ x_2 \\ . \\ . \\ x_{n-1}\end{bmatrix}$ , $g_2(x)=\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ . \\0\end{bmatrix}$ .

[edytuj] Przykład

Mamy nieliniowy układ dynamiczny przedstawiony jako układ równań (*)

$\frac{dx}{dt}=u_1\cos\theta$

$\frac{dy}{dt}=u_1\sin\theta$

$\frac{d\phi}{dt}=u_2$

$\frac{d\theta}{dt}=u_1\tan\phi$ .

Na początku należy wyznaczyć przybliżenie liniowe funkcji $sin,cos,tan$ stosując wzór: $f(x)=f(x_0)+\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}(x-x_0)$ . Orzymujemy:

sinθ = θ

cosθ = 1

tanφ = φ

a po podstawieniu do (*):

$\frac{dx}{dt}=u_1$

$\frac{dy}{dt}=u_1\theta$

$\frac{d\phi}{dt}=u_2$

$\frac{d\theta}{dt}=u_1\phi$ .

Na podstawie otrzymanego układu równań tworzymy nowe zmienne $x i$ , które po zróżniczkowaniu dadzą układ łańcuchowy.

x 1 = x

x 2 = φ

x 3 = θ

x 4 = y

$\frac{dx_1}{dt}=\frac{dx}{dt}=u_1$ ,

$\frac{dx_2}{dt}=\frac{d\phi}{dt}=u_2$ ,

$\frac{dx_3}{dt}=\frac{d\theta}{dt}=\phi*u_1=x_2*u_1$ ,

$\frac{dx_4}{dt}=\frac{dy}{dt}=\theta*u_1=x_3*u_1$ .

W ten oto sposób otrzymaliśmy układ łańcuchowy, który można sterować (o ile jest sterowalny, patrz nawiasy Liego) za pomocą sygnałów wyznaczonych w algorytmie sterowania sinusoidalnego itp.

Kategoria: Robotyka

We provide Linux to the World

Układ łańcuchowy

Z Wikipedii

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykład

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj