Dyskusja:Zbiór Bernsteina

Z Wikipedii

Skąd pochodzi ta konstrukcja zbioru Bernsteina? Loxley 17:06, 17 paź 2007 (CEST)

Dobre pytanie... Myślę że ta konstrukcja pochodzi od samego F.Bernsteina. Ale autor [1] pisze

Bernstein's 1908 [1] paper in which he originally proved the existence of such a set dealt with trigonometric series uniqueness issues. Bernstein gave his example in order to illustrate that certain hypotheses in some of his results were necessary. This is the Bernstein of the Cantor-Bernstein theorem about cardinal inequality, but not the Bernstein who the Bernstein polynomials are named after.

Bernstein sets can be constructed by a straightforward transfinite induction "diagonal argument" on a well-ordering of the collection of perfect sets.

co sugeruje że indukcyjna konstrukcja jest późniejsza. Hm.... Publikacja [1] to Felix Bernstein, "Zur Theorie der trigonometrischen Reihen", Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), 325-338. [JFM 39.0474.02] Jeśli ktoś miałby dostęp do Zentralblattu to można by sprawdzić co tam jest w review; może jest jakieś info na aktualny temat? Best, Andrzej (Stotr 19:13, 17 paź 2007 (CEST))

Dziękuję, postaram się znaleźć. Co do własności iii), to uzasadnione byłoby podanie dowodu w wiki (wydaje mi się, że jeśli ktoś szuka informacji o zbiorze Bernsteina (na prostej), to własnie w kontekście jego niemierzalności). Na prostej zresztą dowód jest dość prosty, zakładając jego mierzalność dochodzi się do sprzeczności, że i on i jego dopełnienie jest miary zero. W ogólnym przypadku dowodzi się, na moje oko, dokładnie tak samo zakładając lokalną skończoność i jędrność miary (miarę zbioru da się przedstawić jako supremum po miarach jego zwartych podzbiorów). Nie pasuje mi tylko to, że miary Radona to miary borelowskie (taką kiedyśtam poznałem definicję). Jak to jest? Ogólnie w przestrzeniach polskich zakłada się borelowskość miary, a na prostej to działa także w oparciu o miarę Lebesgue'a? Loxley 21:56, 17 paź 2007 (CEST)

Welcome. Z góry dziękuję jeśli mógłbys sprawdzić tego Zentralblatta.

Jeślil chodzi o miarę Radona, to wszystko zależy od przyjmowanych definicji. Ja zawsze myślę o mierze Radona tak jak na enwiki (czyli mamy to co nazywasz jędrnością) a przestrzeń ma być metryczna bez punktów izolowanych albo coś bliskiego temu. Może trzeba by napisać to hasło o mierze Radona najpierw? A potem może zrobić hasło "zbiór niemierzalny" i tam wstawić dowody? NIe wiem. Best, Andrzej (Stotr 22:25, 17 paź 2007 (CEST))

Na enwiki jest "a measure on the σ-algebra of Borel sets of X". Kto zacznie pisać artykuł? :) PS. Autor artykułu [2] wskazuje, że konstrukcja na prostej pochodzi prosto od Bernsteina. Loxley 22:14, 18 paź 2007 (CEST)

Zzacznę ten artykuł o mierze Radona w pewnym momencie. It is on my list... Dzięki za link do artykułu McCluskeya i McMastera... Best, A. (Stotr 06:36, 19 paź 2007 (CEST))

[edytuj] Nieprzeliczalne przestrzenie polskie

Przy konstrukcji zbioru Bernsteina, zakłada się że dana przestrzeń polska jest równoliczna ze zbiorem liczb rzeczywistych, a w definicji tylko, że nieprzeliczalna (czyli rozumiem, dowolnie większej mocy niż moc zbioru liczb naturalnych). Jak to powinno być uściślone? Jak zmienia się liczba zbiorów borelowskich przestrzeni topologicznej w zależności od jej mocy? Loxley 10:56, 20 paź 2007 (CEST)

Każda nieprzeliczalna przestrzeń polska jest równoliczna z prostą rzeczywistą. Tak więc powiedzieć "nieprzeliczalna" czy też powiedzież "mocy kontinuum" to to samo w tym kontekscie. W zasadzie w artykule jest to całkiem zgrabnie powiedziane:

" Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Wówczas $|X|=2^{\aleph_0}$ " ...

Jeśli chodzi o ilość zbiorów borelowskich w przestrzeni topologicznej to może to zależeć od kilku czynników, na pierwszy rzut oka to głównie od mocy topologii (tzn ilości zbiorów otwartych) i arytmetyki kardynalnej... W metrycznych przestrzeniach ośrodkowych (czy nawet tylko topologicznych z 2gim Aksj. Przel.) mamy co najwyżej $2^{\aleph_0}$ zbiorów otwartych, oraz $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ więc zbiorów borelowskich będzie co najwyżej $2^{\aleph_0}$ (a jeśli rozważana ośrodkowa przestrzeń metryczna jest mocy $2^{\aleph_0}$ to i zbiorów borelowskich będzie $2^{\aleph_0}$ ) Best, Stotr 03:00, 22 paź 2007 (CEST)

Ogólnie, jeśli

X

jest przestrzenią topologiczną wagi $\kappa\geqslant\aleph_0$ , to $\aleph_0\leqslant |\mathcal{B}(X)|\leqslant \kappa$ . Dzięki już wszystko jasne. Loxley 06:00, 22 paź 2007 (CEST)

We provide Linux to the World

Dyskusja:Zbiór Bernsteina

Z Wikipedii

[edytuj] Nieprzeliczalne przestrzenie polskie

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj