Zderzenie całkowicie niesprężyste

Z Wikipedii

Zderzenie całkowicie niesprężyste, zderzenie doskonale nieelastyczne – zderzenie, w którym następuje największa możliwa strata energii kinetycznej, tj. zderzenie, którego produkty mają najmniejszą możliwą energię kinetyczną umożliwiającą im spełnienie zasady zachowania pędu.

Wygodnie jest analizować takie zderzenie w układzie środka masy zderzających się obiektów. W układzie tym całkowity pęd wynosi zero. Oznacza to, że minimalna energia kinetyczna po zderzeniu też może być zerowa, sytuacja ta odpowiada stanowi spoczynku wszystkich produktów zderzenia. Ponieważ jednak strata energii nie może zależeć od układu odniesienia, dochodzimy do wniosku, że w dowolnym układzie odniesienia wszystkie produkty zderzenia całkowicie niesprężystego poruszają się z tą samą prędkością w tym samym kierunku. Dla zderzeń obiektów makroskopowych oznacza to normalnie, że zderzające się ciała "sklejają się" i kontynuują ruch jako jeden obiekt. Energia kinetyczna ulega przy tym zamianie na odkształcenie i ciepło.

Zderzenie całkowicie niesprężyste pomiędzy równymi masami

‎

W zderzeniach cząstek elementarnych zderzenie całkowicie niesprężyste to takie, w którym cała dostępna energia kinetyczna zużywana jest na produkcję nowych cząstek, spoczywających po zderzeniu w środku masy układu.

[edytuj] Przemiany energii w zderzeniu niesprężystym ciał makroskopowych

Podczas zderzenia niesprężystego wyróżniamy fazę początkową procesu, podczas której względna prędkość zderzających się ciał spada do zera. Towarzyszy temu oczywiście zmniejszenie się łącznej energii kinetycznej obu ciał. Ten ubytek energii kinetycznej zamienia się na pracę - jest to praca trwałego odkształcenia. Praca trwałego odkształcenia wykonanego w czasie zderzenia, nie może być nam zwrócona. Po zmniejszeniu się do zera prędkości względnej zderzających się ciał (oba ciała mają wspólną prędkość) przestają one na siebie oddziaływać i poruszają się dalej jako jedna bryła. Zakładamy, że ciało jest idealnie niesprężyste i siła potencjalna sprężystości jest tak mała, że wystarcza tylko do utrzymania pierwotnego kształtu ciała, gdy nie działają na nie żadne siły. Tutaj działa siła pochodzącą z energii kinetycznej i wykonuje pracę przesuwając (wgniatając) część powierzchni ciała. Z założeń wynika, że ciało nie "potrafi" powrócić do stanu pierwotnego i będzie trwać w takim odkształceniu, ponadto ciała (odkształcające i odkształcone) zlepiają się.

[edytuj] Analiza matematyczna zderzeń centralnych doskonale niesprężystych

Rozważymy ten rodzaj zderzeń na przykładzie dwóch doskonale niesprężystych ciał o masach $m 1$ i $m 2$ oraz o prędkościach przed zderzeniem $v 1$ i $v 2$ . Niech obie prędkości mają te same kierunki i $v 1$ niech będzie większe od $v 2$ (czyli pierwsze ciało dogania drugie). Po zderzeniu następuje odkształcenie obydwu ciał oraz ich zlepienie, a po zderzeniu poruszają razem z prędkością $u$ .

W czasie tego zderzenia nie działają w układzie odosobnionym siły zachowawcze, a zatem nie stosuje się zasada zachowania energii mechanicznej. Możemy natomiast zastosować zasadę zachowania pędu:

m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2) u

Stąd prędkość wspólna po zderzeniu wynosi:

$u=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ .

Znając energię kinetyczną obu ciał przed zderzeniem, jak również energię kinetyczną bryły utworzonej w wyniku zderzenia, można obliczyć stratę energii kinetycznej, przekształconą na inne postacie energii:

$E=\frac{m_{1}v^{2}_{1}}{2}+\frac{m_{2}v^{2}_{2}}{2}-\frac{(m_{1}+m_{2})u^{2}}{2}$ .

Ostatecznie:

$E=\frac{1}{2}\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}$ .

Iloczyn obu zderzających się mas podzielony przez ich sumę przedstawia tzw. masę zredukowaną układu. Różnica $(v 1 - v 2)$ jest prędkością względną. A zatem ubytek energii kinetycznej przekształcony w czasie doskonale niesprężystego zderzenia na inne rodzaje energii jest proporcjonalny do masy zredukowanej układu oraz kwadratu prędkości względnej.

[edytuj] Przykład

Obliczenie minimalnej energii protonu potrzebnej do wyprodukowania antyprotonu w zderzeniu ze spoczywającym protonem.

W stanie początkowym mamy dwie cząstki, o masie $m p$ każda. Całkowita energia przed zderzeniem wynosi

$E_p=E+m_pc^2\$

czyli jest sumą energii protonu padającego i energii spoczynkowej protonu-tarczy.

Zasada zachowania liczby barionowej wymaga, aby antyproton wyprodukował się w parze z protonem. W stanie końcowym musimy więc mieć co najmniej cztery cząstki, każda o masie $m p$ : dwa początkowe protony i wyprodukowaną parę proton-antyproton. Minimalna energia protonu padającego odpowiada sytuacji zderzenia całkowicie niesprężystego. Cztery cząstki w stanie końcowym muszą więc względem siebie spoczywać, czyli można je traktować jak jedną cząstkę o masie $4 m p$ . Energia stanu końcowego wynosi

$E_k=\sqrt{p^2c^2+(4m_pc^2)^2}=\sqrt{p^2c^2+16m_p^2c^4}$ .