Вероятностное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

[править] Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , где

$\Omega \$ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
$\mathcal{F}$ - сигма-алгебра подмножеств $\Omega \$ , называемых (случайными) событиями;
$\mathbb{P}$ - вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ .

[править] Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть $\Omega \$ суть конечное множество, содержащее $\vert \Omega \vert = n$ элементов. В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств $\Omega \$ . Его часто символически обозначают $2^{\Omega} \$ . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно $2^{\vert \Omega \vert}$ , что объясняет обозначение. Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

$\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n}$ ,

где $A\subset \Omega$ , и $\vert A \vert = n_A$ - число элементарных исходов, принадлежащих $A \$ . В частности вероятность любого элементарного события:

$\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.$

[править] Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять $\Omega=\{0,1\}, \mathcal{F} = \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\}$ и определить вероятность следующим образом: