Гиперболические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Геометрическое определение
2 Свойства
3 Обратные гиперболические функции
4 История
5 Применение
6 Ссылки

[править] Определение

Определение гиперболических функций через гиперболу

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

гиперболический синус:

$\mathop{\rm sh} \,x=\frac{e^x -e^{-x}}{2}$ (в зарубежной литературе обозначается $\,\!\sinh x$ )

гиперболический косинус:

$\mathop{\rm ch}\, x=\frac{e^x +e^{-x}}{2}$ (в зарубежной литературе обозначается $\,\!\cosh x$ )

гиперболический тангенс:

$\mathop{\rm th} \,x= \frac{\mathop{\rm sh} x}{\mathop{\rm ch} x}$ (в зарубежной литературе обозначается $\,\!\tanh x$ ).

Иногда также определяются

гиперболический котангенс:

$\mathop{\rm cth} \,x= \frac{1}{\mathop{\rm th} \;x}$ ,

гиперболические секанс и косеканс:

$\mathop{\rm sch} \,x= \frac{1}{\mathop{\rm ch}\; x}$ , $\mathop{\rm csch} \,x= \frac{1}{\mathop{\rm sh}\; x}$ .

[править] Геометрическое определение

Ввиду соотношения $\mathop{\rm ch}^2 t -\mathop{\rm sh}^2 t=1$ гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы $x 2 - y 2 = 1$ ( $x=\mathop{\rm ch}\;t,\quad y=\mathop{\rm sh}\; t$ ). При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

[править] Свойства

[править] Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от комплексного аргумента.

$\mathop{\rm sh} \,x=-i\sin( i x), \quad \mathop{\rm ch}\, x = \cos ( ix ), \quad \mathop{\rm th}\, x = -i \mathop{\rm tg} (i x)$

[править] Важные тождества

${\mathop{\rm ch}}^2 x -{\mathop{\rm sh}}^2 x =1$
Чётность
1. $\mathop{\rm sh} (-x)=-\mathop{\rm sh} \,x$
2. $\mathop{\rm ch} (-x)=\mathop{\rm ch} \,x$
3. $\mathop{\rm th} (-x)=-\mathop{\rm th} \,x$
Формулы сложения
1. $\mathop{\rm sh} (x+y)=\mathop{\rm sh} \,x \,\mathop{\rm ch}\, y+\mathop{\rm sh}\, y \,\mathop{\rm ch}\, x$
2. $\mathop{\rm ch} (x+y)=\mathop{\rm ch} \,x \,\mathop{\rm ch}\, y+\mathop{\rm sh}\, y \,\mathop{\rm sh}\, x$
Формулы двойного угла
1. $\mathop{\rm sh} \;2x=2\mathop{\rm ch} \,x\mathop{\rm sh} \,x$
2. $\mathop{\rm ch} \;2x=2{\mathop{\rm ch}}^2 x -1$
Производные
1. $(\mathop{\rm sh} \;x)'=\mathop{\rm ch} \;x$
2. $(\mathop{\rm ch} \;x)'=\mathop{\rm sh} \;x$
3. $(\mathop{\rm th} \;x)'=1/\mathop{\rm ch}^2 \;x$
Интегралы
1. $\int\mathop{\rm sh} \;x\; d\!x=\mathop{\rm ch} \;x+C$
2. $\int\mathop{\rm ch} \;x\; d\!x=\mathop{\rm sh} \;x+C$
3. $\int\mathop{\rm th} \;x\; d\!x=\ln\mathop{\rm ch} \;x+C$
4. $\int\frac{1}{\mathop{\rm ch} ^2 x} d\!x=\mathop{\rm th} \;x+C$
5. $\int\frac{1}{\mathop{\rm sh} ^2 x} d\!x=-\mathop{\rm cth} \;x+C$

[править] Разложение в степенные ряды

$\mathop{\rm sh}\;x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\mathop{\rm ch}\;x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\mathop{\rm th}\;x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\mathop{\rm cth}\;x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n} B_n x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$ (Ряд Лорана)

Здесь $B n$ — числа Бернулли.

[править] Графики

[править] Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках $z = i π(n + 1 / 2)$ , где n — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек $z = i π n$ , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

[править] Обратные гиперболические функции

читаются ареа… (-синус и т. д.) — от слова «area» («площадь»).

$\operatorname{Ar\;sh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ обратный гиперболический синус $\operatorname{sh} (\operatorname{Ar\;sh} x)=x$

$\operatorname{Ar\;ch}(x) = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})$ обратный гиперболический косинус

$\operatorname{Ar\;th}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ обратный гиперболический тангенс

$\operatorname{Ar\;cth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ обратный гиперболический котангенс

$\operatorname{Ar\;sch}(x) = \pm \ln\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)$ обратный гиперболический секанс

$\operatorname{Ar\;csch}(x) = \ln\left(\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)$ (для $x < 0\!\,$ ) $= \ln\left(\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)$ (для $x > 0\!\,$ ) обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

$\operatorname{Ar\;sh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\operatorname{Ar\;ch} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1$

$\operatorname{Ar\;th} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

[править] История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения Sh и Ch. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp.

[править] Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида $\begin{pmatrix} \cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x \end{pmatrix}$ описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы $\begin{pmatrix} \mathop{\rm ch}\;x & \mathop{\rm sh}\; x\\ \mathop{\rm sh}\;x & \mathop{\rm ch}\; x\end{pmatrix}$ описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции $y=\mathop{\rm ch}\; x$ (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.