Гипергеометрическое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

**Гипергеометрическое распределение**
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$N\in 0,1,2,3...\,$ $D\in 0,1,...,N\,$ $n\in 0,1,...,N\,$
Носитель	$k \in 0,1,...,n\,$
Функция вероятности	${{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}$
Функция распределения
Математическое ожидание	$nD\over N$
Медиана
Мода
Дисперсия	$n(D/N)(1-D/N)(N-n)\over (N-1)$
Коэффициент асимметрии	$\frac{(N-2D)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}$
Коэффициент эксцесса	$[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}][\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}+\frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6]$
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{t})$
Характеристическая функция	$\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{it})$

Гипергеометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

[править] Определение

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из $N$ элементов. Предположим, что $n$ из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся $N - n$ этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из $D$ элементов. Пусть $Y$ - случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности $Y$ имеет вид:

$p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \frac{C_D^k\, C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}$ ,

где $C_n^k \equiv \frac{n!}{k!\, (n-k)!}$ обозначает биномиальный коэффициент. Пишем: $Y ˜HG(D, N, n)$ .

[править] Моменты

$\mathbb{E}[Y] = \frac{nD}{N}$ ,

$\mathrm{D}[Y] = {n(D/N)(1-D/N)(N-n)\over (N-1)}$ .

[править] Связь с другими распределениями

Зафиксируем $n$ и $D$ и устремим $N$ к бесконечности. Тогда $HG(D, N, n)$ сходится к биномиальному распределению $Bin(n, D / N)$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное