Декартов лист

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Декартов лист — плоская кривая третьего порядка. Уравнение в прямоугольной системе координат:

$x^3 + y^3 = 3axy \,\!$ (1).

Параметр $3 a$ определяется как диагональ (AE) квадрата (ADEO), сторона которого (AO) равна наибольшей хорде пели AOBC (см. Рис. 1).

Рис. 1

Уравнение декартова листа в полярной системе координат записывается так:

$\rho = \frac {3a \cos \phi \sin \phi}{ \cos^3 \phi + \sin^3 \phi} \,\!$ .

Параметрическое уравнение:

$x = \frac{3au}{1 + u^3} \,\!$ .

$y = \frac{3au^2}{1 + u^3} \,\!$ .

[править] История

Впервые уравнение (1) исследовал Декарт в 1638 году, который, однако, построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных углах, в виде четырёх лепестков цветка (см. Рис. 2). В то время это кривая называлась цветком жасмина ( англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

Рис. 2

В современном виде (Рис. 1), эту кривую впервые представил Гюйгенс в 1692 году.

[править] Особенности кривой

Прямая (OA) — ось симметрии, её уравнение: $y = x$ . Точка A называется вершиной, её координаты $\left( \frac {3a}{2}, \frac {3a}{2} \right)$ . Для обеих ветвей L и I существует асимптота (UV), её уравнение: $x + y + a = 0$ .

[править] Преобразование координат

Систему координат XOY (Рис. 1) преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY против часовой стрелки на угол $\alpha = \frac { \pi}{4}$ и переориентацией оси OX в противоположном направлении. Это преобразование координат записывается так:

$\begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -u \\ v \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix} \,\!$

Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так:

$x = - u \cos \alpha - v \sin \alpha \,\!$

$y = - u \sin \alpha + v \cos \alpha \,\!$ , или

$x = - \frac{u}{ \sqrt {2}} - \frac{v}{ \sqrt {2}} \,\!$

$y = - \frac{u}{ \sqrt {2}} + \frac{v}{ \sqrt {2}} \,\!$ ,

После подстановки выражений старых координат через новые в (1), уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду:

$v^2 = \frac{u^2}{3} \frac{3a + u \sqrt{2}}{a - u \sqrt{2}}\,\!$ .

Вводим параметр $t = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$ , последнее уравнение перепишется так:

$v^2 = u^2 \frac{t + u}{t - 3u}\,\!$ или

$v = \pm u \sqrt{\frac{t + u}{t - 3u}}\,\!$ .

Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат:

$y = \pm x \sqrt{\frac{t + x}{t - 3x}}\,\!$ . (2)

Декартов лист, соответствующий уравнению (2) показан на Рис. 3.

Рис. 3

Подставив в уравнение (2) $x = \rho \cos \phi, \qquad y = \rho \sin \phi$ , получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат:

$\rho \sin \phi = \rho \cos \phi \sqrt{ \frac{t + \rho \cos \phi}{t - 3 \rho \cos \phi}}\,\!$ .

Решая данное выражение относительно $ρ$ , получаем:

$\rho = \frac{t \left( \sin^2 \phi - \cos^2 \phi \right)}{ \cos \phi \left( \cos^2 \phi + 3 \sin^2 \phi \right)}\,\!$ .

Все дальнейшие исследования относятся к уравнению (2).

[править] Исследование кривой

При $y = 0$ имеем $x = 0$ или $\sqrt{ \frac{t + x}{t - 3x}} = 0$ , или $t + x = 0 \Rightarrow x = - t \Rightarrow x = - \frac{3a}{ \sqrt{2}}$ , то есть (см. Рис. 3) $OA = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$ .

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

$t - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{t}{3} = \frac{a}{ \sqrt{2}} \,\!$ .

[править] Производная

Чтобы найти максимальное значение функции (2) и уравнение касательной, вычислим производную функции (2):

$y' = \left( x \sqrt{ \frac{t + x}{t - 3x}} \right)' \,\!$

$y' = \frac{2tx}{ \left( t - 3x \right) \left( \sqrt{t - 3x} \sqrt{t + x} \right)} + \sqrt{ \frac{t + x}{t - 3x}} \,\!$ .

Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: $x = - \frac{t}{ \sqrt{3}}$ . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге (ACO) — точка C и минимум на нижней дуге (ABO) — точка B. Значение функции в этих точках равно:

$y \left(- \frac{t}{ \sqrt{3}} \right) = \pm \frac{t}{ \sqrt{3}} \sqrt{ \frac{3 - \sqrt{3}}{ \sqrt{3} + 1}} \,\!$ .

Значение производной y’ в точке O равно $\pm 1$ , то есть касательные в точке O взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом $\pm \frac{ \pi}{4}$ .

[править] Площади

Площадь $S 1$ , заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так:

$\frac{1}{2}S_1 = - \int_{-t}^{0} x \sqrt{ \frac{t + x}{t - 3x}}\,dx \,\!$ , (4)

где $t = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$ .

Интеграл (4) вычисляется с помощью подстановки:

$u = t - 3x, \qquad t + x = \frac{4}{3}t - \frac{1}{3}u, \qquad dx = - \frac{1}{3}du$ .

Пределы интегрирования:

$x = -t \Rightarrow\; u = 4t, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = t$

Интеграл (4) преобразуется к виду:

$\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int_{4t}^{t} \left(t - u \right) \sqrt{ \frac{4t - u}{u}}\,du \,\!$

или

$\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int_{4t}^ {t} t \sqrt{ \frac{4t - u}{u}}\,du - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int_{4t}^ {t} u \sqrt{ \frac{4t - u}{u}}\,du = \,\!$ . (5)

Первый интеграл из уравнения (5):

$\frac{1}{9 \sqrt{3}} \int_{4t}^ {t} t \sqrt{ \frac{4t - u}{u}}\,du \qquad \,\!$ . (6)

Подстановка:

$u = v^2, \qquad du = 2vdv$ .

Пределы интегрирования:

$u = 4t \Rightarrow\; v = 2 \sqrt{t}, \qquad u = t \Rightarrow\; v = \sqrt{t}$ .

Интеграл (6) преобразуется к виду:

$\frac{2t}{9 \sqrt{3}} \int_{2 \sqrt{t}}^{ \sqrt{t}} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{t} \right)^2 - v^2}\,dv = \qquad \,\!$

$= \frac{2t}{ \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{t} \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2 \sqrt{t} \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2 \sqrt{t}} \right) \right] \begin{cases} \sqrt{t} \\ 2 \sqrt{t} \end{cases} =\,\!$

$= \frac{t^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right] \,\!$ .

Второй интеграл из уравнения (5):

$- \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int_{4t}^{t} \sqrt{4tu^2 - u^2}\,du \,\!$ . (7)

Подстановка:

$u = v + 2t, \qquad du = dv$ .

Пределы интегрирования:

$u = 4t \Rightarrow\; v = 2t, \qquad u = t \Rightarrow\; v = -t$ .

Интеграл (7) преобразуется к виду:

$- \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int_{2t}^{-t} \sqrt{ \left(2t \right)^2 - v^2}\,dv =\,\!$

$= - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left(2t \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2t \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2t} \right) \right] \begin{cases} -t \\ 2t \end{cases} = \,\!$

$= \frac{t^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \frac {\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{3} \pi \right] \,\!$ .

Итак:

$\frac {1}{2}S_1 = \frac{t^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right] + \frac{t^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \frac {\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{3} \pi \right]$ .

Площадь $S 1$ равна:

$S_1 = \frac {t^2}{3} = \frac{3}{2}a^2 \,\!$ .

Площадь $S 2$ , заключённая между ветвями OI, OL и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь $S 1$ ; интеграл берётся в пределах от 0 до $\frac{t}{3}$ .

$\frac{1}{2}S_2 = \int_{0}^{ \frac{t}{3}} x \sqrt{ \frac{t + x}{t - 3x}}\,dx \,\!$ . (8)

Этот интеграл вычисляется также, как и интеграл (4).

$S_2 = \frac {t^2}{3} = \frac{3}{2}a^2 \,\!$ , то есть, площади

S 1

S 2

равны между собой.

[править] Объём тела вращения

Объём ( $V 1$ ) тела, образованного при вращении дуги $A C O$ вокруг оси абсцисс, расчитывается так:

$V_1 = \pi \int_{-t}^{0} x^2 \frac{t + x}{t - 3x}\,dx = \qquad \,\!$ (9)

$= - \frac{ \pi}{3} \int_{-t}^{0} x^2\,dx - \frac{4 \pi t}{9} \int_{-t}^{0} x\,dx - \frac{4 \pi t^2}{27} \int_{-t}^{0}\,dx + \frac{4 \pi t^3}{27} \int_{-t}^{0} \frac{dx}{t - 3x}\,= \,\!$

$= \frac{ \pi t^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right) \,\!$ .

Итак:

$V_1 = \frac{ \pi t^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right) \,\!$ .

Объём ( $V 2$ ) тела, образаванного при вращении ветви $O I$ вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (9) в пределах от $0$ до $\frac{t}{3}$ . Этот интеграл равен бесконечности, то есть

$V_2 = \infty$ .