Дроби Фарея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дроби Фарея (ряды Фарея), также последовательность Фарея или таблица Фарея (англ. Farey Fractions, Farey Sequence) — семейство конечных подмножеств рациональных чисел.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Свойства
4 История
5 Смотри также

[править] Определение

Последовательность Фарея n-ного порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен n:

$F_n := \left\{\frac{a_i}{b_i} : 0 \leq a_i \leq b_i \leq n, GCD(a_i,b_i)=1, \frac{a_i}{b_i}<\;\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}\right\}.$

[править] Пример

Последовательности Фарея для n=1..4:

$F_1=\left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{1} \right\}$
$F_2=\left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \right\}$
$F_3=\left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1} \right\}$
$F_4=\left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{1} \right\}$

[править] Свойства

Последовательность Фарея порядка n+1 можно построить из последовательности порядка n по следующему правилу:

1. Копируем все элементы последовательности порядка n

2. Если сумма знаменателей в двух соседних дробях последовательности порядка n дает число не больше чем n+1, встраиваем между этими дробями новую дробь с числителем, равным сумме числителей соседних дробей и знаменателем, равным сумме знаменателей соседних дробей.

Если $p 1 / q 1 < p 2 / q 2$ две соседние дроби в ряде Фарея тогда $q 1 p 2 - q 2 p 1 = 1$

Долазательсво. Заметим что тругольник на плоскости с вершинами $A = (0,0)$ , $B = (p 1, q 1)$ и $C = (p 2, q 2)$ не может содержать целых точек отличных от вершин. Иначе, если целая точка $(r, s)$ содержится в $\triangle ABC$ то дробь $r / s$ лежит между $p 1 / q 1$ и $p 2 / q 2$ а знаменатель $s$ не превосходит $max{q 1, q 2}$ . Зачит, по формуле Пика, его площадь равна $1 / 2$ . С другой стороны пложадь $\triangle ABC$ равна $(q 1 p 2 - q 2 p 1) / 2$ . ч.т.д.

[править] История

Биография Фарея занимает двадцать строк словарной статьи, в которой расписаны его заслуги, как геолога. Однако та единственная работа, обессмертившая его имя, там не упомянута. (Готтфри Харди)

Джон Фарей был геологом по образованию, его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «On a curious property of vulgar fractions» («О интересном свойстве обыкновенных дробей»), в которой Фарей определил последовательность $F n$ и описал то самое «интересное свойство» итеративного построения последовательностей.

Эта статья Фарея дошла до Коши, который в том-же году опубликовал доказательство. Интересен тот факт, что «интересное свойство» и сама последовательность, описанные Фареем в 1816 году было использовано Харосом в его статье 1802 года об аппроксимации десятичных дробей дробями обыкновенными. В вопросе авторства историки расходятся: Харди считает Хароса исходным автором последовательности, однако МакТьютор указывает на тот факт, что Харос не дал ни описания последовательности в общем виде, ни доказательства «интересного свойства».

[править] Смотри также

Дроби Фарея на Mathworld'е (англ.)
Числители и знаменатели последовательности Фарея в каталоге Слоэна (англ).
Дерево Фарея (англ.)
МакТьютор: Биография Фарея (англ.)

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по математике | Теория чисел

Дроби Фарея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определение

[править] Пример

[править] Свойства

[править] История

[править] Смотри также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках