Интегралы движения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В механике величина, сохраняющаяся при движениии называется интегралом движения. Она налагает некоторое ограничение на движение. Однако, это «математическое» ограничение — естественное следствие уравнений движения, а не «физического» ограничение (которое требовало бы присутствия дополнительных ограничивающих сил). Основные примеры включают энергию, импульс, угловой момент и вектор Лапласа-Рунге-Ленца (для сил, убывающих пропорционально расстоянию).

[править] Применение

Интегралы движения полезны потому, что некоторые свойства этого движения можно узнать даже без интегрирования уравнений движения. В наиболее успешных случаях траектории движения представляют собой пересечение изоповерхностей соответствующих интегралов движения. Например, построение Poinsot показывает, что без крутящего момента вращение твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии), траекторию, которую трудно вывести и визуализировать. Поэтому, нахождение интегралов движения — важная цель в механике.

[править] Методы нахождения интегралов движения

Существует несколько методов нахождения интегралов движения:

Наиболее простой, но и наименее строгий метод заключается в интуитивном подходе, часто основанном на экспериментальных данных и последующего математического доказательства сохранения величины.

Уравнение Гамильтона-Якоби предлагает строгий и прямой метод нахождения интегралов движения, особенно если гамильтониан принимает знакомую функциональную форму в ортогональных координатах.

Другой подход заключается в сопоставлении сохраняющейся величины и какой-либо симметрии Лагранжиана. Теорема Нётер даёт систематический способ вывода таких величин из симметрий. Например, закон сохранения энергии является результатом того, что Лагранжиан не изменяется относительно сдвига по времени, закон сохранения импульса эквивалентен инвариантности лагранжиана относительно сдвига начала координат в пространстве (трансляционная симметрия) и закон сохранения момента импульса следует из изотропности пространства (лагранжиан не меняется при поворотах системы координат). Обратное тоже верно: каждая симметрия лагранжиана соответствует интегралу движения.

Величина $A$ сохраняется если она не зависит явным образом от времени и её скобки Пуассона с гамильтонианом системы равны нулю

$\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \{A, H\}$

Другой полезный результат известен как теорема Пуассона, в которой утверждается, что если есть два интеграла движения $A$ и $B$ то скобки Пуассона ${A, B}$ этих двух величин тоже является интегралом движения.

Система с n степенями свободы и n интегралами движения, такими, что скобки Пуассона любой пары интегралов равны нулю известна как полностью интегрируемая система. Такой набор интегралов движения, как говорят, находится в инволюции друг с другом.

[править] В квантовой механике

Наблюдаемая величина Q сохраняется если она коммутирует с гамильтонманом H, который не зависит явным образом от времени. Поэтому

$\frac{d}{dt} \langle \psi | Q | \psi \rangle = \frac{-1}{i \hbar} \langle \psi|\left[ H,Q \right]|\psi \rangle + \langle \psi | \frac{dQ}{dt} | \psi \rangle \,$

где используется коммутационное соотношение

$[H,Q] = HQ - QH \,$ .

[править] Вывод

Пусть имеется некоторая наблюдаемая Q, которая зависит от координаты, импульса и времени

$Q = Q(x,p,t) \,$

а также имееется волновая функция, которая является решением соответствующего уравнения Шрёдингера

$i\hbar \frac{d\psi}{dt} = H \psi .\,$

Для вычисления производной по времени от среднего значения наблюдаемой Q используется правило дифференцирования произведения, и результат после некоторых манипуляций приведён ниже

$\frac{d}{dt} \langle Q \rangle \,$	$= \frac{d}{dt} \langle \psi \| Q \| \psi \rangle \,$
	$= \langle \frac{d\psi}{dt} \| Q \| \psi \rangle + \langle \psi \| \frac{dQ}{dt} \| \psi \rangle + \langle \psi \| Q \| \frac{d\psi}{dt} \rangle\,$
	$= \frac{-1}{i\hbar} \langle H \psi \| Q \| \psi \rangle + \langle \psi \| \frac{dQ}{dt} \| \psi \rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi \| Q \| H \psi \rangle \,$
	$= \frac{-1}{i\hbar} \langle \psi \| HQ \| \psi \rangle + \langle \psi \| \frac{dQ}{dt} \| \psi \rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi \| HQ \| \psi \rangle \,$
	$= \frac{-1}{i \hbar} \langle \psi\|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle + \langle \psi \| \frac{dQ}{dt} \| \psi \rangle \,$

В итоге получим

$\frac{d}{dt} \langle \psi | Q | \psi \rangle = \frac{-1}{i \hbar} \langle \psi| \left[ H,Q \right]|\psi \rangle + \langle \psi | \frac{dQ}{dt} | \psi \rangle \,$

[править] Отношение к квантовому хаосу

В общем случае интегрируемые системы имеют сохраняющиеся при движении величины отличные от энергии. В противоположность к этому энергия — единственный интеграл движения неинтегрируемых систем. Такие системы называются хаотическими. В общем случае классическая механическая системы может быть квантована только если она интегрируема. На сегодняшний момент (2006), не известны согласованные методы квантования хаотических систем.

[править] Литература

Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. ISBN ISBN 0-13-805326-X

Это незавершённая статья по физике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по физике | Классическая механика

$\frac{d}{dt} \langle Q \rangle \,$	$= \frac{d}{dt} \langle \psi \| Q \| \psi \rangle \,$
	$= \langle \frac{d\psi}{dt} \| Q \| \psi \rangle + \langle \psi \| \frac{dQ}{dt} \| \psi \rangle + \langle \psi \| Q \| \frac{d\psi}{dt} \rangle\,$
	$= \frac{-1}{i\hbar} \langle H \psi \| Q \| \psi \rangle + \langle \psi \| \frac{dQ}{dt} \| \psi \rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi \| Q \| H \psi \rangle \,$
	$= \frac{-1}{i\hbar} \langle \psi \| HQ \| \psi \rangle + \langle \psi \| \frac{dQ}{dt} \| \psi \rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle \psi \| HQ \| \psi \rangle \,$
	$= \frac{-1}{i \hbar} \langle \psi\|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle + \langle \psi \| \frac{dQ}{dt} \| \psi \rangle \,$

Интегралы движения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Применение

[править] Методы нахождения интегралов движения

[править] В квантовой механике

[править] Вывод

[править] Отношение к квантовому хаосу

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках