Класс (математика)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Класс — термин, употребляемый в математике в основном как синоним термина «множество» для обозначения произвольных совокупностей объектов, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком (например, в алгебре — классы эквивалентности). Иногда классами предпочитают называть совокупности, элементами которых являются множества (например, в рекурсивной теории — перечислимые классы). В некоторых случаях под влиянием аксиоматической теории множеств термин «класс» применяется для того, чтобы подчеркнуть, что данная совокупность оказывается собственно классом, а не множеством в узком смысле (например, в алгебре — примитивные классы универсальных алгебр, называемые также многообразиями). Теоретико-множественные операции над классами определяются так же, как и над множествами.
[править] В аксиоматической теории множеств
Класс в аксиоматической теории множеств (точнее, в аксиоматической системе Гёделя—Бернайса) — один из видов исходных объектов, рассматриваемых в этих системах, причем различие между множествами и классами состоит в том, что элементами классов и множеств, рассматриваемых в данной теории, могут быть только множества, но не классы. Идея введения так понимаемых классов в теорию множеств принадлежит Дж. Нейману (J. Neumann) и основывается на его замечании, что известные противоречия канторовской теории множеств возникают не из-за допущения образования очень больших множеств, а из-за того, что таким множествам разрешается быть элементами других множеств. Кроме указанного ограничения, в названных аксиоматических системах допускаются все обычные теоретико-множественные операции над классами, приводящие к классам, а не к множествам; к тому же для всякого в некотором смысле допустимого предиката, определенного на множествах, существует класс, состоящий в точности из множеств, удовлетворяющих рассматриваемому предикату.
Доказано, что непротиворечивость каждой из систем Гёделя—Бернайса и Цермело—Френкеля следует из непротиворечивости другой.
