Конечная p-группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Содержание

1 Основные свойства конечных p-групп
2 Некоторые классы конечных p-групп
3 Конечные p-группы небольших порядков
- 3.1 Число различных p-групп порядка pn
- 3.2 p-группы порядка p^n, асимптотика
4 Знаменитые проблемы теории конечных p-групп
5 Литература
6 Ссылки

[править] Основные свойства конечных p-групп

Определение. Группа называется конечной $p$ -группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Теорема. Пусть $P$ — конечная $p$ -группа, тогда

P — нильпотентна.
$| Z (P) | > 1$ .
Для любого $1\leq k <n$ в $P$ существует нормальная подгруппа порядка $p k$ .
Если $H$ нормальна в $P$ , то $|H\cap Z(P)|>1$ .
$P'\leq \Phi(P)$ .
$P/\Phi(P)\cong E_{p^d}$ .

[править] Некоторые классы конечных p-групп

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых клаccов конечных $p$ -групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

[править] p-группы максимального класса

Конечная $p$ -группа порядка $p n$ называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна $n - 1$ .

Теорема. Пусть $P$ — есть конечная $p$ -группа максимального класса, тогда $P' = Φ(P)$ и $| Z (P) | = p$ .

Теорема. Единственными 2-группами порядка $2 n$ максимального класса являются: диэдральная группа $D_{2^n}$ , обобщённая группа кватернионов $Q_{2^n}$ и полудиэдральная группа $SD_{2^n}$ .

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

[править] p-центральные p-группы

Конечная $p$ -группа называется $p$ -центральной, если $\Omega_1(P)\leq Z(P)$ . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной $p$ -группы.

[править] Мощные p-группы

Конечная $p$ -группа называется мощной, если $[P,P]\leq P^p$ при $p\neq 2$ и $[P,P]\leq P^4$ при $p = 2$ . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию $p$ -центральной $p$ -группы.

[править] Регулярные p-группы

Конечная $p$ -группа $P$ называется регулярной, если для любых $x,y\in P$ выполнено $(x y) p = x p y p c p$ , где $c\in P'$ . Регулярными будут, например, все абелевы $p$ -группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

Теорема. Любая подгруппа и фактор-группа регулярной $p$ -группы регулярна.

Теорема. Конечная $p$ -группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.

Теорема. Конечная $p$ -группа порядка не большего $p p$ является регулярной.

Теорема. Конечная $p$ -группа класс нильпотентности которой меньше $p$ является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при $p > 2$ .

Несколько неожиданной является следующая

Теорема. Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

[править] Конечные p-группы небольших порядков

[править] Число различных $p$ -групп порядка $p n$

Число порядка $p$ групп равно 1: группа $C p$ .
Число неизоморфных групп порядка $p 2$ равно 2: группы $C_{p^2}$ и $C_{p}\times C_{p}$ .
Число неизоморфных групп порядка $p 3$ равно 5, из них три абелевы группы: $C_{p^3}$ , $C_{p^2}\times C_{p}$ , $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ и две неабелевы: при $p > 2$ — $E_{p^3}^+$ и $E_{p^3}^-$ ; при p = 2 — $D 8$ , $Q 8$ .
Число неизоморфных групп порядка $p 4$ равно 15 при $p > 2$ , число групп порядка $24$ равно 14.
Число неизоморфных групп порядка $p 5$ равно $2 p + 61 + 2 G C D (p - 1,3) + G C D (p - 1,4)$ при $p\geq 5$ . Число групп порядка $25$ равно 51, число групп порядка $35$ равно 67.
Число неизоморфных групп порядка $p 6$ равно $3 p 2 + 39 p + 344 + 24 G C D (p - 1,3) + 11 G C D (p - 1,4) + 2 G C D (p - 1,5)$ при $p\geq 5$ . Число групп порядка $26$ равно 267, число групп порядка $36$ равно 504.
Число неизоморфных групп порядка $p 7$ равно $3 p 5 + 12 p 4 + 44 p 3 + 170 p 2 + 707 p + 2455 + (4 p 2 + 44 p + 291) G C D (p - 1,3) + (p 2 + 19 p + 135) G C D (p - 1,4) + (3 p + 31) G C D (p - 1,5) + 4 G C D (p - 1,7) + 5 G C D (p - 1,8) + G C D (p - 1,9)$ при $p > 5$ . Число групп порядка $27$ равно 2328, число групп порядка $37$ равно 9310, число групп порядка $57$ равно 34297.

[править] p-группы порядка p^n, асимптотика

При $n\rightarrow\infty$ число неизоморфных групп порядка $p n$ асимптотически равно $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}$ .

[править] Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

[править] Группа автоморфизмов конечной p-группы

Для групп $p$ -автоморфизмов конечной $p$ -группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течении более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

Гипотеза. Пусть $P$ является нециклической $p$ -группой порядка $|P|\geq p^3$ , тогда $P\leq |Syl_p(Aut(P))|$ .

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса $p$ -групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более $p 7$ , групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

[править] Гипотеза Хигмена

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка $q$ нильпотентна.

Гипотеза. Пусть группа $P$ обладает регулярным автоморфизмом простого порядка $q$ . Тогда её класс нильпотентности равен $cl(P)=\frac{q^2-1}{4}$ .

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: $c l (P) < q q$ (Кострикин, Крекнин).

[править] Ослабленная гипотеза Бернсайда

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с $m$ образующими и периодом $n$ (то есть все её элементы $x$ удовлетворяют соотношению $x n = 1$ ), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через $B (m, n)$ . Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа $B (m,2)$ является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы $B (m,3)$ равен $3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}$ . Однако, как показали Новиков и Адян, при $m\geq 2$ и при любом нечётном $n\geq 4381$ группа $B (m, n)$ бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных $m$ -порождённых групп периода $n$ ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных $p$ групп она означает, что существует лишь конечное число $p$ групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

[править] Нерегулярные p-группы

Классификация нерегулярных p-групп порядка $p p + 1$ .

[править] Литература

Белоногов В.А., Задачник по теории групп. Москва, Наука, 2000.
Холл М., Теория групп. Издательство иностранной литературы, Москва, 1962.
Хухро E.И., O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп, Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359-371.
Berkovich Y., Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
Berkovich Y., Janko Z., Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
Gorenstein D., Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
Huppert B., Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M., Groupes analytiques p-adiques, Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
Lubotzky A., Mann A., Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506-515.
Weigel T., Combinatorial properties of p-central groups, Freiburg Univ., 1996, preprint.
Weigel T., p-Central groups and Poincare duality, Freiburg Univ., 1996, preprint.

[править] Ссылки

Система GAP.

Категории: Незавершённые статьи по математике | Теория групп

Конечная p-группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Основные свойства конечных p-групп