Математический маятник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Математи́ческий ма́ятник — механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

$T = 2\pi \sqrt{l \over g}$

и не зависит от амплитуды.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

Несмотря на свою простоту, с математическим маятником связан ряд интересных явлений.

Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.

[править] Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

$\dot x=-a\sin x,$

где $a$ ― положительная константа. Неизвестная функция $x (t)$ ― это угол отклонения маятника в момент $t$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; $a = g / l$ , где $l$ ― длина подвеса, $g$ ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия имеет вид: