Матрица поворота

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Предлагается объединить эту статью с Матрица вращения. (Обсудить)

Матрицей поворота называется матрица, умножение вектора на которую не меняет его длины.

[править] Матрица поворота в двумерном пространстве

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом $θ$ . Положительным углам соответствует вращение против часовой стрелки.

Матрица поворота вектора в декартовой системе координат:

$M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

[править] Матрица поворота в трёхмерном пространстве

В трёхмерном пространстве для описания поворота нужны либо три угла Эйлера $(α,β,γ)$ , либо один угол поворота $θ$ и вектор оси вращения $\hat{\mathbf{v}} = (x,y,z)$ .

Матрицы поворота вектора в декартовой системе координат, соответствующие этим двум способам задания поворота:

$M(\alpha,\beta,\gamma) = \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma & - \sin \alpha \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & \sin \beta \sin \gamma \\ \cos \alpha \sin \gamma + \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma & - \sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma & - \sin \beta \cos \gamma \\ \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}$

$M(\hat{\mathbf{v}},\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y \\ (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x \\ (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 \end{bmatrix}$

[править] Свойства матрицы поворота

Если $M$ — матрица, задающая поворот вокруг оси $\vec n$ на угол $φ$ , то:

$|M \vec v| = |\vec v|$ $\forall \vec v$
$M \vec n = \vec n$
$(M \vec v,\vec v) = \cos(\varphi)$
$det M = 1$ (матрица имеет единичный определитель).
если строки (или столбцы матрицы) рассматривать как координаты векторов , то верны следующие соотношения):
- $|\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1$
- $\vec a \vec b = 0, \vec b \vec c = 0, \vec c \vec a = 0$
- $\vec a \times \vec b = \vec c, \vec b \times \vec c = \vec a, \vec c \times \vec a = \vec b$