Мероморфная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области $\Omega\subset \mathbb C$ (или на римановой поверхности $Ω$ ) — голоморфная функция $f$ в области $\Omega\backslash\{a_1,a_2,\dots\}$ , которая в каждой особой точке $a i$ имеет полюс (таким образом $a i$ — изолированная точка множества $\{a_1,a_2,\dots\}$ , не имеющего предельных точек в $Ω$ , и $\lim_{z\to a_i}|f(z)|= \infty$ ). Совокупность $M (Ω)$ всех мероморфных функций на области $Ω$ является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

[править] Свойства

Отношение φ / ψ любых голоморфных в Ω функций, φ и ψ, является мероморфной функцией в Ω.
- Обратно, всякая мероморфная функция в области $\Omega\subset\mathbb C$ (и на некомпактной римановой поверхности $Ω$ ) представляется в виде $φ / ψ$ , где $φ$ и $ψ$ голоморфны и не имеют общих нулей в $Ω$ .

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле $M (Ω)$ совпадает с полем отношений кольца голоморфных функций в $Ω$ .

Всякая мероморфная функция определяет непрерывное отображение f области Ω в сферу Римана , которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры .
- Обратно, всякое голоморфное отображение $f:\Omega,\to\mathbb C\cup\{\infty\}$ , определяет мероморфную функцию $f$ на $Ω$ . При этом множество полюсов $f$ совпадает с дискретным множеством $f^{-1}(\infty)$ .

Таким образом, мероморфная функция одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.

На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера)
- На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

Категория: Комплексный анализ

Мероморфная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Свойства

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках