Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:
1) хотя бы один из коэффициентов $a i j$ при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общености, будем считать $a_{11} \not\equiv 0$ (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2) все коэффициенты $a i j = 0, i = 1,2,..., n$ , но есть коэффициент $a_{ij}, i \not\equiv j$ , отличный от нуля (для определённости пусть будет $a_{12} \not\equiv 0$ ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

$f(x_1, x_2, ..., x_n) = (a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + ... + 2a_{1n}x_1x_n) + f1(x_2, x_3, ..., x_n) =$
$= \frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 - \frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n)^2 + f1(x_2, x_3, ..., x_n) =$
$= \frac{1}{a_{11}}y_1^2 + f2(x_2, x_3, ..., x_n)$

где $y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1 n x n$ , а через $f 2 (x 2, x 3,..., x n)$ обозначены все остальные слагаемые. $f 2 (x 2,..., x n)$ представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных $x 2, x 3,..., x n$ .
С ней поступают аналогичным образом и так далее.