Метод Рунге-Кутта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Методы Рунге-Кутта — важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.

[править] Классический метод Рунге-Кутта 4 порядка

Метод Рунге-Кутта 4 порядка столь широко распространен, что его частенько называют просто метод Рунге-Кутта.

Рассмотрим задачу Коши $\textbf{y}'=\textbf{f}(x,\textbf{y}), \textbf{y}(x_0)=\textbf{y}_0$ . Тогда значение в следующей точке вычисляется по следующей формуле:

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + {h \over 6} (\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2 + 2\textbf{k}_3 + \textbf{k}_4)$

где

$\textbf{k}_1 = \textbf{f} \left( x_n, \textbf{y}_n \right),$

$\textbf{k}_2 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_1 \right),$

$\textbf{k}_3 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_2 \right),$

$\textbf{k}_4 = \textbf{f} \left( x_n + h, \textbf{y}_n + h\textbf{k}_3 \right),$

h

— шаг по времени.

Этот метод имеет 4 порядок, т.е. ошибка на каждом шаге составляет $O (h 5)$ , а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования $O (h 4)$ .

[править] Прямые методы Рунге-Кутта

Семейство прямых методов Рунге-Кутта является обобщением метода Рунге-Кутта 4 порядка. Оно задается формулами

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i,$

где

$\textbf{k}_1 = f(x_n, \textbf{y}_n), \,$

$\textbf{k}_2 = f(x_n+c_2h, \textbf{y}_n+a_{21}h\textbf{k}_1), \,$

$\textbf{k}_3 = f(x_n+c_3h, \textbf{y}_n+a_{31}h\textbf{k}_1+a_{32}h\textbf{k}_2), \,$

$\vdots$

$\textbf{k}_s = f(t_n+c_sh, \textbf{y}_n+a_{s1}h\textbf{k}_1+a_{s2}h\textbf{k}_2+\cdots+a_{s,s-1}h\textbf{k}_{s-1}).$

Конкретный метод определяется числом $s$ и коэффициентами $b i, a i j$ и $c i$ . Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу

0
$c 2$	$a 21$
$c 3$	$a 31$	$a 32$
$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
$c s$	$a s 1$	$a s 2$	$\cdots$	$a s, s - 1$
	$b 1$	$b 2$	$\cdots$	$b s - 1$	$b s$

Для коэффициентов метода Рунге-Кутта должны быть выполнены условия $\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i$ для $i=2, \ldots, s$ . Если мы хотим, чтобы метод имел порядок $p$ , то следует так же обеспечить условие $\bar\textbf{y}(h+x_0)-\textbf{y}(h+x_0)=O(h^{p+1})$ , где $\bar\textbf{y}(h+x_0)$ — приближение полученное по методу Рунге-Кутта. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.