Модули римановой поверхности
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Модули римановой поверхности — численные характеристики (параметры), одни и те же для всех конформно эквивалентных римановых поверхностей, в своей совокупности характеризующие конформный класс эквивалентности данной римановой поверхности.
[править] Мотивация
Необходимым условием конформной эквивалентности двух плоских областей является одинаковая связность этих областей. Согласно теореме Римана все односвязные области с более чем одной граничной точкой конформно эквивалентны друг другу: каждую такую область можно конформно отобразить на одну и ту же каноническую область, в качестве которой обычно рассматривают единичный круг. Для областей связности n, n>2, точного эквивалента теоремы Римана не существует: нельзя указать какую-либо фиксированную область, на которую можно однолистно и конформно отобразить все области данного порядка связности. Это привело к более гибкому определению канонической n-связной области, которое указывает общую геометрическую структуру этой области, но не фиксирует ее модулей.
[править] Примеры
- конформные классы компактных римановых поверхностей рода g > 1 характеризуются 6g − 6 действительными модулями;
- тор (g = 1) характеризуется двумя модулями;
- n-связная плоская область, рассматриваемая как риманова поверхность с краем, при n > 3 характеризуется 3n − 6 модулями.
- Каждая двусвязная область D плоскости z с невырожденными граничными континуумами может быть конформно отображена на некоторое круговое кольцо
-
- r < | z | < R,
.
- r < | z | < R,
- Отношение R / r радиусов граничных окружностей этого кольца является конформным инвариантом и называется модулем двусвязной области D.
