Момент инерции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Момент инерции механической системы
2 Момент инерции тела
3 Теорема Штейнера
4 Центробежный момент инерции
5 См. также
6 Литература

[править] Момент инерции механической системы

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси a называется физическая величина J_a равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

$J_a=\sum_{i=1}^n m_i p_i^2\,\!$ ,

где:

m_i - масса i-й точки,
p_i — расстояние i-й точки от оси.

[править] Момент инерции тела

Момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг своей оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

$J_a=\int_{(m)} p^2dm=\int_{(V)} p^2DdV\,\!$ ,

где:

dm=DdV — масса малого элемента объема тела dV,
D — плотность,
p — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

$J_a=D\int_{(V)} p^2dV\,\!$

Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера) момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

$J=J_c+md^2\,\!$

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей:

Тело	Положение оси a	Момент инерции J_a
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиуса R и массы m	Ось цилиндра	$m R 2$
Сплошной цилиндр (диск) радиуса R и массы m	Ось цилиндра	$\frac{1}{2}mR^2$
Шар радиуса R и массы m	Ось проходит через центр шара	$\frac{2}{5}mR^2$
Тонкостенная сфера радиуса R и массы m	Ось проходит через центр сферы	$\frac{2}{3}mR^2$
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину	$\frac{1}{12}ml^2$
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	$\frac{1}{3}ml^2$

[править] Теорема Штейнера

Если $I 0$ — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии $a$ от неё, равен

$I = I 0 + m a 2$ ,

где $m$ — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равна:

$I=I_0+ma^2=\frac{1}{12}ml^2+m(\frac{l}{2})^2=\frac{1}{3}ml^2$

[править] Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

$J_{xy}=\int_{(m)} xydm=\int_{(V)} xyDdV\,\!$

$J_{xz}=\int_{(m)} xzdm=\int_{(V)} xzDdV\,\!$

$J_{yz}=\int_{(m)} yzdm=\int_{(V)} yzDdV\,\!$

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью D и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

[править] См. также

[править] Литература

Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, с. 800 ISBN 5-71-075956-2

Это незавершённая статья по физике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по физике | Физика | Механика

Момент инерции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Момент инерции механической системы

[править] Момент инерции тела

[править] Теорема Штейнера

[править] Центробежный момент инерции

[править] См. также

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках