Нечёткое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Предлагается объединить эту статью с Теория нечётких множеств. (Обсудить)

Предлагается объединить эту статью с Нечёткие множества в финансовом менеджменте. (Обсудить)

Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.

Нечеткие множества — расширение классической теории множеств, используются в нечеткой логике. В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеству понимается в бинарных терминах в соответствии с четким условием — элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В добавление к этому, теория нечетких множеств разрешает градуированное понимание принадлежности элемента множеству; это описано при помощи функции принадлежности. Нечеткие множества — это расширение классической теории множеств, так как на определенном универсуме функция принадлежности может действовать как индикаторная функция, отображая все элементы либо в 1, либо в 0, как в классической записи. Итак, нечеткое множество (размытое множество) — множество, принадлежность к которому определяется функцией принадлежности. Концепция теории нечетких множеств предложена Л. Заде и расширяет классическую теорию множеств.

Рассмотрим дискретное или непрерывное множество, которое далее мы будем называть носителем. Введём некоторое подмножество, которому будут принадлежать элементы указанного носителя. Однако сама эта принадлежность не будет абсолютной, но будет установлена степенью или функцией принадлежности.

В классических множествах подмножества формируются так, что принадлежность элементов носителя этим подмножествам является абсолютной. Например, если носитель — множество действительных чисел, а подмножество — целые положительные числа, то все соответствующие точки носителя (1,2, 3, …) принадлежат этому подмножеству со степенью принадлежности 1.

Другое дело, если носитель — человеческий возраст, а подмножество этого носителя — «взрослые люди». Тогда эксперт, устанавливающий связь между множеством возрастов и подмножеством взрослых людей, может испытывать известные затруднения в ходе такой «мягкой» классификации. Может даже показаться, что такая классификация — дело сугубо субъективное. Однако в большинстве случаев дефиниции качественных понятий существует некая конвенциональная, разделяемая большинством человеческого сообщества, точка зрения, которая, к тому же, опирается на распространённые физические измерители. Так, «высокая температура» у человека начинается с 37 градусов по Цельсию, и с этим никто спорить не станет. Точно так же, понятие «оптимальный возраст работника» базируется на способности человека к долговременному труду, к накоплению и переработке информации и т. д., и эта способность снижается по мере старения. Все это дает основания для «мягкой» классификации.

Итак, нечёткое множество — это подмножество некоторого множества-носителя, принадлежность элементов носителя к которому устанавливается введенной экспертом или экспертным сообществом функцией принадлежности. Очень часто нечёткое множество применяется как инструмент установления связи между количественными данными и качественными классами, организованными на этих данных.

Нечёткие множества были введены Лотфи Заде в 60-х годах ХХ-го века. Они стали применяться в теории и практике управления, в экономике и финансах. Достаточно сказать, что делались попытки использовать идею обработки нечеткой информации при управлении поездами в токийском метро; ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами; имеются работы по прогнозированию курсов валют.