Autocorrelación

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La autocorrelación es una herremienta matemática utilizada frecuentemente en el procesado de señales. La función de autocorrelación se define como la correlación cruzada de la señal consigo misma. La función de autocorrelación resulta de gran utilidad para encontrar patrones repetitivos dentro de una señal como por ejemplo encontrar la periodicidad de una señal enmascarada bajo el ruido o para identificar la frecuencia fundamental de una señal que no contiene dicha componente pero aparecen numerosas frecuencias armónicas de ésta.

Tabla de contenidos

1 Definiciones de la función de autocorrelación
- 1.1 Estadística
- 1.2 Procesado de señal
2 Propiedades
3 Aplicaciones
4 Enlaces externos

[editar] Definiciones de la función de autocorrelación

Dependiendo del campo de estudio se pueden definir diferentes tipos de autocorrelación sin que estas definiciones sean equivalentes. En algunos campos se utilizan indistintamente los términos autocorrelación y autocovarianza.

[editar] Estadística

En estadística la autocorrelación de una serie temporal discreta de un proceso X_t es simplemente la correlación de dicho proceso con una versión desplazada en el tiempo de la propia serie temporal.

Si X_t representa un proceso estacionario de segundo orden con un valor principal de μ entonces se define:

$R(k) = \frac{E[(X_i - \mu)(X_{i+k} - \mu)]}{\sigma^2}$

donde E es el valor esperado y k el desplazamiento temporal considerado (normalmente denominado desfase). Esta función varía dentro del rango [−1, 1] donde 1 indica una correlación perfecta (la señal se superpone perfectamente tras un desplazamiento temporal de k) y −1 indicando una anticorrelación perfecta. Es una práctica común en muchas disciplinas el abandonar la normalización por σ² y utilizar los términos autocorrelación y autocovarianza de manera intercambiable.

[editar] Procesado de señal

En el procesado de señales, dada una señal temporal $f (t)$ , la autocorrelación continua $R f (τ)$ es la correlación continua cruzada de $f (t)$ consigo mismo tras un desfase $τ$ , y se define como:

$R_f(\tau) = f^*(-\tau) \circ f(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt$

donde $f *$ representa el conjugado complejo y el círculo representa una convolución. Para una función real, $f * = f$ .

Formalmente, la autocorrelación discreta $R$ con un desfase $j$ para una señal $x n$ es

$R(j) = \sum_n (x_n-m)(x_{n-j}-m )\,$

donde m es el valor esperado de $x n$ .

Frecuentemente las autocorrelaciones se calculan para señales centradas alrededor del cero, es decir con un valor principal de cero. En ese caso la definición de la autocorrelación viene dada por:

$R(j) = \sum_n x_n x_{n-j}.\,$

Las autocorrelaciones multidimensionales pueden definirse de manera similar. Por ejemplo, en tres dimensiones puede definirse la autocorrelación de una función como:

$R(j,k,\ell) = \sum_{n,q,r} (x_{n,q,r}-m)(x_{n-j,q-k,r-\ell}-m).$

[editar] Propiedades

Definiremos las propiedades de la autocorrelación unidmensional. La mayoría de sus propiedades son extensibles fácilmente a los casos multidimensionales.

Simetría: R(i) = R(−i),

La función de autocorrelación alcanza un valor máximo en el origen, donde alcanza un valor real. El mismo resultado puede encontrarse en el caso discreto.

Como la autocorrelación es un tipo específico de correlación mantiene todas las propiedades de la correlación.

La autocorrelación de una señal de ruido blanco tendrá un fuerte pico en τ = 0 y tendrá valores cercanos a 0 para cualquier otro τ. Esto muestra que el ruido blanco carece de periodicidad.

El teorema de Wiener-Khinchin relaciona la función de autocorrelación con la densidad espectral a través de la transformada de Fourier.

$R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df$

$S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.$

[editar] Aplicaciones

Una de las aplicaciones de la autocorrelación es la medida de espectros ópticos y en especial la medida de pulsos muy cortos de luz.

En óptica, la autocorrelación normalizada y la correlación cruzada proporcionan el grado de coherencia de un campo electromagnético.

En el procesamiento de señales, la autocorrelación proporciona información sobre las periodicidades de la señal y sus frecuencias características como los armónicos de una nota musical producida por un instrumento determinado (tono y timbre).