Axioma

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En epistemología un axioma es una "verdad evidente" sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual se construyen otros conocimientos. No todos los epistemólogos están de acuerdo que los axiomas existan de esa manera. En matemáticas un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemáticas se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos y consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable ¡y por tanto P es verdadero! Este teorema de Gödel a menudo ha sido interpretado en un sentido pesimista, como una especie de limitación esencial del conocimiento humano o algo así (porque implícitamente se presupone que nuestro razonamiento es como una máquina). Pero ese no es el caso, debe notarse que realmente Gödel nos hace ver que tal enunciado P es verdadero, así que el resultado de Gödel realmente muestra que ningún sistema axiomático consistente (entendido como máquina de deducir) agota la capacidad de demostración de la razón humana. Su sentido es que ningún ordenador ni proceso meramente mecánico pude emular el raciocinio humano, que nuestro espíritu no es lo que hoy en día entendemos como máquina.

Tabla de contenidos

1 Etimología
2 Matemáticas
- 2.1 Axiomas Lógicos
  - 2.1.1 Ejemplos
- 2.2 Axiomas no-lógicos
3 Véase también

[editar] Etimología

La palabra axioma viene griego αξιωμα (axioma) que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez viene de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filosofos griegos un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

[editar] Matemáticas

En el campo de la lógica matemática, se hace una clara distinción entre las dos nociones de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

[editar] Axiomas Lógicos

Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier universo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje.

[editar] Ejemplos

En el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes, donde $\phi \,$ , $\psi \,$ , y $\chi \,$ pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje:

$\phi \to (\psi \to \phi) \,$
$(\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi)) \,$
$(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)$

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si $A$ , $B$ , y $C$ son variables proposicionales, entonces $A \to (B \to A)$ y $(A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B))$ son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Puede probarse que con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional, también puede probarse que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados pero son necesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo Sea $\mathfrak{L}\,$ un lenguaje de primer orden. Para cada variable $x\,$ , la fórmula $x = x\,$ es universalmente valida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable $x\,$ , la fórmula $x = x\,$ puede considerarse un axioma. Para no caer en la vaguedad o en una serie infinita de "nociones primitivas", primeramente se necesita ya sea una idea de lo que queremos decir con $x = x\,$ o un definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo $=\,$ , y de hecho, la lógica matemática lo hace.

Ejemplo Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula $\phi\,$ en un lenguaje de primer orden $\mathfrak{L}\,$ , una variable $x\,$ y un término $t\,$ que es sustituible por $x\,$ en $\phi\,$ , la fórmula $\forall x. \phi \to \phi^x_t$ es válida universalmente.

En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una cierta propiedad $P\,$ se cumple para toda $x\,$ y que si $t\,$ es un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos ser capaces de afirmar $P(t)\,$ . De nuevo, estamos afirmando que la fórmula $\forall x. \phi\ \to \phi^x_t$ es válida, esto es, debemos ser capaces de dar una prueba de este hecho, o mejor dicho, una metaprueba. De hecho, estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática ya que nos referimos meramente al concepto de demostración en sí. Además de esto, también podemos tener una generalización existencial:

Esquema axiomático Para una fórmula $\phi\,$ en un lenguaje de primer orden $\mathfrak{L}\,$ , una variable $x\,$ y un término $t\,$ que es sustituible por $x\,$ en $\phi\,$ , la $\phi^x_t \to \exists x. \phi$ es universalmente válida.

[editar] Axiomas no-lógicos

Los Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro nombre para los axiomas no-lógicos es postulado.

Casi cualquier teoría matemática moderna se basa en un conjunto de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.

En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas no-lógicos simplemente axiomas, esto no significa que sean verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en algunos grupos, una operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado introduciendo un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este axioma se puede desarrollar la teoría de grupos e incluso se puede tomar su negación como un axioma para estudiar los grupos no-conmutativos.

Un axioma es el elemento básico de un sistema de lógica formal y junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.