Circunferencia

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En matemática, una circunferencia (del latín circunferentia) es una curva plana y cerrada que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro. La ecuación de una circunferencia centrada en el punto (h,k) y de radio r, es:

$(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2 \,$

Desarrollando la ecuación, se tiene:

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,$

siendo $h = \frac{-D}{2}$ ; $k = \frac{-E}{2}$ y $r = \sqrt{h^2 + k^2-F}$

La longitud de una circunferencia es:

$L = 2 \cdot \pi \cdot r$

donde $r$ = radio; $π$ = Pi

Tabla de contenidos

1 Ecuaciones de la circunferencia
2 Área del círculo delimitado por una circunferencia
3 Véase también

[editar] Ecuaciones de la circunferencia

[editar] Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio c consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = c^2\,$ .

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

$x^2 + y^2 = c^2.\,$

El círculo con centro en el origen y de radio igual a $1$ es llamado círculo unitario.

Si en vez del centro y el radio son dados dos puntos $(x 1, y 1),(x 2, y 2)$ extremos de un diámetro, la circunferencia queda descrita por la ecuación

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,$

[editar] Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como $(r,θ)$

$r=c.\,$

Cuando el centro no está en el origen sino en el punto $(s,α)$ y el radio es $c$ , la ecuación se convierte en

$r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2$

[editar] Ecuación en coordenadas paramétricas

También es posible describir una circunferencia usando parametrizaciones. La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como

$x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]$

y con funciones racionales como

$x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty$

[editar] Área del círculo delimitado por una circunferencia

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

$A = \pi \cdot r^2$

Esta última fórmula se debe a que, sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema y el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: $A = \frac{p \cdot a}{2}$ Y sabiendo que una circunferencia es un polígono de infinitas caras, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la logitud, por tanto: