Círculo

De Wikipedia, la enciclopedia libre

La exactitud de la información de este artículo está discutida.
En la página de discusión puede consultar el debate al respecto.

Para otros usos de este término, véase Círculo (desambiguación).

El círculo y sus elementos principales

En la geometría Euclidiana, un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran comprendidos en una circunferencia. En el uso coloquial, también los términos círculo y circunferencia suelen utilizarse como sinónimos.

[editar] Círculo y circunferencia

En matemáticas existe una distinción entre la circunferencia, curva que determina un círculo, y la figura como un todo (comparese con disco que incluye el interior o no. Cuando se desea establecer esta distinción, se usa la palabra círculo para denotar la figura completa (el borde y el interior) mientras que se reserva la palabra circunferencia para designar únicamente a la curva.

Sin embargo, de forma coloquial se usa el término círculo en ambos sentidos ^[1] determinando el significado según el contexto, aunque el término circunferencia se reserva siempre para referirse a la curva ^[2]. De esta forma, es posible hablar del "área de un círculo" pero es incorrecto hablar del "área de una circunferencia".

[editar] Elementos del círculo

Secantes, cuerdas y tangentes.

Existen varias rectas y puntos especiales en el círculo. Un segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos.

Una línea que atraviesa el círculo, cortándolo en dos puntos, se llama secante, mientras que una línea que toca al círculo en un sólo punto se denomina tangente. El punto de contacto de la tangente con el círculo se llama punto de tangencia. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

[editar] Símbolo propio

De una manera similar a utilizar símbolos especiales para designar a los conjuntos en matemática, el círculo tiene su nombre propio y es $\mathbb{S}^1$ .

[editar] Ángulos en el círculo

Ángulos en el círculo.

Existen diversos tipos de ángulos que se pueden encontrar en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una tangente se denomina semiinscrito.

Los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

En un círculo unitario, la medida de un ángulo central (en radianes) coincide con la longitud del arco que subtiende. Con esa base, se dice que la medida de un arco, en grados o radianes, coincide con la medida del ángulo central que lo contiene.

Es importante notar que se está definiendo la medida angular de un arco, la cual depende únicamente de la apertura del ángulo central correspondiente, la cual no se debe confundir con la medida lineal (de longitud) la cual depende tanto del ángulo como del radio. Así por ejemplo, un ángulo central recto siempre determina un arco de 90º, aunque la longitud del arco depende del radio que se use.

Con esa definición es posible relacionar las medidas de los otros ángulos con los arcos. Por ejemplo, un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice (siempre y cuando el arco sea el mismo). Del mismo modo, un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente.

[editar] Arcos de círculo

Construcción del centro dados tres puntos.

Al tomar dos puntos en la circunferencia, se determinan dos arcos, al más pequeño se le denomina arco menor y al otro arco mayor. Dado que tres puntos no colineales del plano determinan un círculo, es posible reconstruir el círculo completo dado un arco del mismo.

El procedimiento consta de señalar tres puntos en el arco, para trazar luego mediatrices de los segmentos determinados. El punto de intersección de las mediatrices es el centro del círculo.

Determinando el radio a partir de una cuerda y un arco.

Es posible también determinar el radio del círculo cuando se proporciona un arco, si se conoce la longitud L de una cuerda y la distancia d que hay del punto medio de la cuerda al punto medio del arco determinado por la cuerda usando la fórmula

$r = \frac{ L^2 + 4d^2}{8d}$

o la versión trigonométrica

$r = \frac{L}{2 \sin\left(180^\circ - 2 \arctan \frac{L}{2d}\right)}$

Sector y segmento circular

Al área comprendida entre un arco y los radios que unen al centro con sus extremos se le denomina sector circular, y a la región comprendida entre una cuerda y un arco se le conoce como segmento circular. En ambos casos, se puede hablar de área mayor o menor en caso de ambigüedad.

Si T es un sector circular cuyo ángulo central es $α$ y radio r, la longitud de su arco y su área se calculan mediante las fórmulas

Arco = $\frac{2 \pi r \alpha}{360^\circ}$ ,

Area = $\frac{\pi r^2\alpha}{360^\circ}$ .

cuando $α$ se expresa en grados, mientras que si $α$ se expresa en radianes, las fórmulas que corresponden son

Arco = $r\,\alpha$ ,

Area = $\frac{r^2\alpha}{2}$ .

[editar] Círculos asociados a un triángulo

Incírculo y circuncírculo

Todo triángulo tiene asociado varios círculos importantes:

Dado que tres puntos no colineales determinan un círculo, todo triángulo tiene asociado un círculo que pasa por sus tres vértices. A tal círculo se le conoce como círculo circunscrito. El centro de tal círculo se encuentra intersectando las mediatrices de los lados y se conoce como circuncentro.

Otro círculo importante es el círculo inscrito, el cual es un círculo interior al triángulo y que es tangente a sus tres lados. El centro se localiza en la intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo y se conoce como incentro.

Las intersecciones de bisectrices externas de los ángulos del triángulo determinan tres puntos llamados excentros y que son centros de círculos tangentes a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. Estos círculos reciben el nombre de círculos externos o círculos excritos.

Existen muchos otros círculos importantes, tales como el círculo de los nueve puntos (círculo de Feuerbach), el cual contiene a los pies de las alturas, los puntos medios de los lados, y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices. Su centro se localiza en el punto medio del segmento que une el ortocentro con el circuncentro.

[editar] Ecuaciones de la circunferencia

Artículo principal: Circunferencia

Coordenadas cartesianas En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio c consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = c^2\,$ .

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

$x^2 + y^2 = c^2.\,$

El círculo con centro en el origen y de radio igual a $1$ es llamado círculo unitario.

La ecuación paramétrica de la circunferencia es

$F(\alpha) = (x+r\cos(\alpha), y + r{\rm sen}(\alpha))\,$

donde (x,y) son las coordenadas del centro de la circunferencia, r es el radio y $α$ es el ángulo en radianes.

Para otros sistemas de coordenadas, consulta el artículo Circunferencia, o mira abajo.

[editar] Otras propiedades

El Teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo están sobre un círculo dado con uno de sus lados siendo el diámetro del círculo, entonces el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto.

Dados tres puntos cualesquiera que no pertenezcan a una misma recta, existe un único círculo que contiene en perímetro a estos tres puntos (este círculo se refiere como circunscrito al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos <(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)>, la ecuación del círculo está dada de forma simple por la determinante matricial:

$\det\begin{bmatrix} x & y & x^2 + y^2 & 1 \\ x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\ x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\ x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\ \end{bmatrix} = 0.$

Un círculo es una forma de sección cónica, con excentricidad cero.

Un círculo de radio $r$ , tendrá una superficie o área de:

$S = \pi \cdot r^2$

Y un perímetro de:

$P = 2 \cdot \pi \cdot r$

[editar] Topología

En terminología topológica, el círculo es un instancia de una variedad (matemática) de dimensión uno (1-variedad), es decir, un espacio topológico que es localmente homeomorfo a la recta númerica con la topología usual. En términos sencillos esto indica que para cada punto del círculo existe un pequeño arco abierto que contiene al punto y este pequeño arco es topológicamente equivalente (homeomorfo) a un intervalo abierto en $\mathbb{R}$ .

Las características geométricas de simetría encontradas es este objeto le proporcionan maneras alternativas para describirle.

Por ejemplo, se le puede parametrizar vía una aplicación continua e inyectiva $\phi\colon[0,2\pi)\to\mathbb{R}^2$ dada por $\phi(t)=(r\cos t, r\sin t)\,$ .

[editar] Variable compleja

Desde el punto de vista del análisis complejo la uno-esfera queda determinada -sin ambigüedad- eligiendo a los objetos $z\in\mathbb{C}$ tales que $\|z\|=\rho$ . O usando la forma polar de $z\,$ , en otras palabras, $z=\rho e^{\theta}\,$ , donde $\rho=\|z\|\,$ es la distancia al origen del plano y $\tan\theta=\frac{y}{x}$ no da el ángulo que tiene el número complejo $z\,$ .

[editar] Algebraicamente

Desde el punto de vista algebraico, $S 1$ de radio uno, es un grupo donde la operación binaria es inducida por la multiplicación de los números complejos es decir, si $z=e^{i\alpha}, w=^{i\beta}\,$ entonces $zw=e^{i(\alpha+\beta)}\,$ .

Es un hecho básico que la uno-esfera de radio uno también queda descrita mediante matrices ortogonales $\begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$ , con estos objetos -el círculo- recibe el símbolo $U(1)\,$ también conocido como grupo especial unitario, matrices de determinante igual a uno y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de uno por uno de entrada compleja

$e^{i\theta}\cong \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$

aquí el sentido de la equivalencia es de homomorfismo de grupos. El símbolo $SO(2)\,$ representa el conjunto de estas matrices de $2 \times 2$ cuyo determinante es igual a uno ( $SO(2):=\{A \in M_{2 \times 2}: det(A)=1\}$ ). El conjunto $SO(2)\,$ también es isomorfo a $U(1)\,$ .

[editar] Topología algebraica

En la teoria de homotopía la uno-esfera es un importante componente para definir el importantisimo concepto de grupo fundamental de un espacio topológico X, que es el grupo de las clases de homotopía de mapeos $S^1\to X$ .