Correspondencia matemática

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Dados dos conjuntos: X e Y, y un grafo f, que determina alguna Relación matemática entre elementos de X con algunos elementos de Y, diremos que ese grafo: f, define una correspondencia entre X e Y, que representaremos:

$f: X \rightarrow Y$

cuando al menos un elemento de X está relacionado con al menos un elemento de Y.

Tabla de contenidos

1 Definiciones
2 Correspondencia definida a partir del producto cartesiano
3 Correspondencia inversa
4 Tipos de correspondencias
- 4.1 Correspondencia unívoca y biunívoca
5 Véase también

[editar] Definiciones

En una correspondencia podemos distinguir distintos conjuntos:

Conjunto inicial: es el primero de la correspondencia, es este caso X, lo representaremos: in (f), según el ejemplo:

$X = in (f) = \{1, 2, 3, 4 \} \,$

Conjunto final: es el segundo de la correspondencia en este caso Y, lo representaremos como fin (f), según el ejemplo:

$Y = fin (f)= \{a, b, c, d \} \,$

Conjunto origen: es el formado por los elementos del conjunto inicial, que están relacionados con algún elemento del conjunto final, lo representaremos or (f), en el ejemplo será:

$or (f)= \{2, 3 \} \,$

Conjunto imagen: es el formado por los elementos del conjunto final con los que están relacionados los elementos del conjunto origen, lo representaremos im (f), en el ejemplo:

$im (f) = \{ c, d \} \,$

Elementos homólogos: dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dice que son homólogos, si están relacionados según la correspondencia f, en el ejemplo los siguientes pares ordenadas son homólogos:

$(2, d), \; (3, c)$

Imagen de un elemento: dado un elemento x del conjunto origen, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que y es imagen de x y se representa:

$f(x) = y \,$

si el elemento x esta relacionado con el elemento y según la correspondencia f. en el ejemplo tenemos que:

$f(2) = d \,$

$f(3) = c \,$

[editar] Correspondencia definida a partir del producto cartesiano

Dados los conjuntos X (Conjunto inicial) e Y (Conjunto final) y definido el producto cartesiano $X \times Y$ , de estos dos conjuntos, como el conjunto de pares ordenados (x, y), donde $x \in X$ e $y \in Y$ , dado el conjunto F que contiene a los pares homónimos de la correspondencia f, y $F \subset ( X \times Y )$ define esa correspondencia en su totalidad.

Por lo tanto podemos decir que una correspondencia entre dos conjuntos X e Y, es un subconjunto F del producto cartesiano $X \times Y$ , que recoge los pares ordenados (x, y), que forman la correspondencia.

ejemplo:

d	(1,d)	(2,d)	(3,d)	(4,d)
c	(1,c)	(2,c)	(3,c)	(4,c)
b	(1,b)	(2,b)	(3,b)	(4,b)
a	(1,a)	(2,a)	(3,a)	(4,a)
X×Y	1	2	3	4

en la diagrama anterior, tenemos los conjuntos:

$X = \{1, 2, 3, 4 \} \,$

$Y = \{a, b, c, d \} \,$

el producto $X \times Y$ se:

$X \times Y$	$= \{ \,$	$(1,a), \, (1,b), \, (1,c), \, (1,d),$
		$(2,a), \, (2,b), \, (2,c), \, (2,d),$
		$(3,a), \, (3,b), \, (3,c), \, (3,d),$
		$(4,a), \, (4,b), \, (4,c), \, (4,d)$	$\} \,$

el conjunto F es el siguiente:

$F = \{ ( 2, d ), ( 3, c ) \} \,$

se puede apreciar que $F \subset ( X \times Y )$ y que F define la correspondencia en su totalidad.

[editar] Correspondencia inversa

Dada una correspondencia entre los conjuntos X e Y, representada:

$f: X \rightarrow Y$

se define como correspondencia inversa de f, que llamaremos $f^{-1} \,$ :

$f^{-1}: Y \rightarrow X$

a la que asocia la imagen de la función f con su origen.

Definida una correspondencia F, como un subconjunto del producto cartesiano de $X \times Y$ , donde los pares ordenados (x, y) son los asociados por la correspondencia, la correspondencia inversa $F^{-1} \,$ , es el subconjunto del producto cartesiano $Y \times X$ , formado por los pares ordenados (y, x) obtenidos de cambiar el orden de la correspondencia F.

[editar] Tipos de correspondencias

[editar] Correspondencia unívoca y biunívoca

Partiendo de dos conjuntos, uno inicial X, y otro final Y, y todas las posibles correspondencias que se pueden hacer entre estos dos conjuntos, por su interés podemos diferenciar las correspondencias unívocas y biunívocas.

Una correspondencia es unívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen.

Una correspondencia es biunívoca si cada elemento inicial solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene un origen.

No es necesario en ninguno de los dos casos, que todos los elementos de X tengan una imagen, ni que todos los elementos de Y tengan un origen, claramente una correspondencia tiene que ser unívoca para poder ser biunívoca.

Si representamos con un rectángulo todas las posibles correspondencias entre los conjuntos X e Y, si el conjunto B es el de las correspondencias unívocas, y al A el de las biunívocas, en un Diagrama de Venn, se ve claramente que el conjunto de las correspondencias biunívocas es un subconjunto de las correspondencias unívocas.

[editar] Correspondencia no unívoca

Correspondencia no unívoca: es la que al menos uno de los elementos origen tiene dos o más imágenes. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que no pertenecen a B: B’

Si el conjunto inicial es el de los alumnos de un centro escolar, y el conjunto final el de las asignaturas que se imparten en ese centro, la correspondencia de alumnos con asignaturas, no será unívoca cuando al menos un alumno estudia dos o más asignaturas.

En el diagrama de la figura el elemento 3 tiene dos imágenes b y c, esto hace que la correspondencia no sea unívoca, independientemente de la relación que tengan el resto de los elementos. Esta doble imagen para un único origen da lugar a que podamos decir:

$f(3) = b \,$

$f(3) = c \,$

Siendo las dos expresiones ciertas.

[editar] Correspondencia unívoca, no biunívoca

Correspondencia unívoca, no biunívoca: es la que a cada origen le corresponde una única imagen, pero no todas las imágenes tienen un único origen. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que pertenecen a B pero no a A: B-A.

Si el conjunto inicial es el de las personas de una población, y el conjunto final el de los domicilios de esa población, la correspondencia de personas con domicilios, será unívoca pero no biunívoca cuando, cada persona viva en un único domicilio y en algún domicilio vivan varias personas.

La correspondencia representada en este diagrama es unívoca, pero no es biunívoca porque el elemento d, tiene dos orígenes: 1 y 2. Así tenemos que:

$f(1) = d \,$

$f(2) = d \,$

esto hace que no sea una correspondencia biunívoca, aunque por el resto de las relaciones si pueda serlo.

[editar] Correspondencia biunívoca

Correspondencia biunívoca: es la correspondencia en la que a los elementos origen tienen una única imagen, y los elementos imagen tienen un único origen. En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a A.

Si tomamos como conjunto inicial el de personas, y por conjunto final el de automóviles, esta correspondencia será biunívoca, cuando las personas que tienen automóvil tienen un solo automóvil, y cada automóvil tenga un solo propietario.

En el diagrama de la figura se ve que:

$f(2) = a \,$

$f(3) = b \,$

$f(4) = d \,$

siendo estas todas las relaciones de esta correspondencia. Los elementos origen tienen una única imagen, y los elementos imagen tienen un único origen, puede haber elementos sin imagen como el 1, y elementos sin origen como la c, pero esto no influye en la consideración de correspondencia ni en sus tipos.

[editar] Véase también

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Categoría: Teoría de conjuntos