Función matemática

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En Matemáticas, una función o aplicación del conjunto A en el conjunto B asocia a cada uno de los elementos de A un elemento, y solo uno, de B.

Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota

$f \colon A \to B \,$

y satisface:

$\forall a \in A \quad \rm {\exists b} \in B\mid (a,b) \in f$
Si $(a,b_1) \in f \and (a,b_2) \in f \Rightarrow b_1 = b_2$

Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota $f(a)=b \,$

En algunos textos de matemática se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

Tabla de contenidos

1 Dominio, conjunto de llegada y conjunto imagen
2 Conceptos para funciones de valor real
3 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
4 Álgebra de las funciones
5 Funciones reales de variable real
6 Véase también
7 Enlaces externos

[editar] Dominio, conjunto de llegada y conjunto imagen

El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o Df.

$D_f = \left\{x \in A \mid \exists y \in B \mid (x,y) \in f\right\}$

Obsérvese que la condición de existencia de la definición de función garantiza que, si $f \colon A \to B \,$ es una función, entonces

D f = A

El codominio de una función $f \colon A \to B \,$ es el conjunto $B \,$ .

Obsérvese que algunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. Puede haber algún $y \in B$ tal que $\forall x \in A \;\, (x,y)\notin f$

El conjunto imagen, también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.

$Im_f = \left\{y \in B \mid \exists x \in A \mid (x,y) \in f\right\}$

Por ejemplo, la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real (de hecho, todos lo son).

Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sola de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0,+∞).

[editar] Conceptos para funciones de valor real

Para funciones $A\to\mathbb{R}$ tenemos:

Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.

$C_0 = \left\{x \in D_f\mid f(x) = 0\right\}$

Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.

$C^- = \left\{x \in D_f\mid f(x) < 0\right\}$

Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

$C^+ = \left\{x \in D_f\mid f(x) > 0\right\}$

[editar] Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Función inyectiva: Si cada elemento del conjunto imagen es imagen de un único elemento del dominio. $f: A \rightarrow B\,$ es inyectiva $\harr \forall x,y \in A : f(x) = f(y) \rarr x = y$ ; o lo que es lo mismo: $\harr \forall x,y \in A : x \neq y \rarr f(x) \neq f(y)$
Función sobreyectiva: $f: A \rightarrow B\,$ es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio). $f: A \rightarrow B\,$ es sobreyectiva $\harr \forall y \in B : \exists x \in A : f(x) = y$
Función biyectiva: $f: A \rightarrow B\,$ es biyectiva si $f \,$ es inyectiva y sobreyectiva.

Sobreyectiva, no inyectiva	Inyectiva, no sobreyectiva
Biyectiva	No sobreyectiva, no inyectiva

[editar] Álgebra de las funciones

[editar] Composición de funciones

Dadas dos funciones $f \colon A \to B \,\;$ y $g \colon B \to C \,\;$ tales que la imagen de $f \,$ está contenida en el dominio de $g\,$ , se define la función composición $\;\;g\circ f \colon A \to C \,$ como el conjunto de pares $(\,x, g(f(x)\,)$ , para todos los elementos $x \,$ de $A \,$ .

$A \to \,\,B\;\; \to \;\;\,C$

$x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))$

Dado $x\,$ conocemos $(\, x, f(x) \,)$ , puesto que conocemos la función $f\,$ , y dado cualquier elemento $y \,$ de $B \,$ conocemos también $(\,y, g(y)\, )$ , puesto que conocemos la función $g \,$ . Por tanto, $(\, x, g(f(x)) \,)$ está definido para todo x. Luego $\;\;g\circ f \;$ cumple la condición de existencia que se exige a las funciones.

También cumple la condición de unicidad, dado que para cada $x \,$ el valor de $f(x) \,$ es único, y para cada $f(x) \,$ también lo es el de $g(f(x)) \,$ , por ser $f \;$ y $g \;$ funciones.

La composición de funciones es asociativa:

$h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f$

Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa. Dadas $f \colon A \to B \,$ y $g \colon B \to C \,$ , $f\circ g\,$ puede no tener ni siquiera sentido, porque $g \,$ “devuelve” elementos de $C \,$ , en tanto que $f \,$ está definida en el dominio $A \,$ . Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas $f(x)=x+1 \,\;$ y $\,g(x)=x^2 \,\;$ , $\,f(g(x))=x^2+1 \,\;$ , en tanto que $\;g(f(x))=(x+1)^2 \,$

[editar] Función identidad

Dado un conjunto $\, A \,$ , la función $\; e_A \colon A \to A \,$ que asigna a cada $x \,$ de $A \,$ el mismo $x \,$ de $A \,$ se denomina función identidad o función unitaria.

$e_A = \left\{(x, x)\mid x \in A \right\}$

Dada cualquier función $g \colon A \to B \,$ , es claro que $e_B\circ f \colon A \to B \,$ es igual a $f\,$ y que $f\circ e_A \colon A \to B \,$ es también igual a $f\,$ , puesto que para todo $x \;\; f(e_A(x))=f(x)$ y también $\;\; e_B(f(x))=f(x)$

$\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;$

[editar] Función inversa

Dada una función $f \colon A \to B \,\;$ , se denomina función inversa o función recíproca de $f \;$ , $f^{-1} \colon B \to A \,$ a la función que cumple la siguiente condición:

$\; f^{-1} \circ f = e_A \;$

$\; f \circ f^{-1} = e_B \;$

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación $f^{-1} \;$ , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de $f^{-1} \;$ es que $f \;$ sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de $f \;$ y
$f \;$ es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

[editar] El grupo de las funciones biyectivas

Considerando todas las funciones biyectivas $f \colon \, A \to A$ , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa: $(f_i \circ f_j) \circ f_k = f_i \circ (f_j \circ f_k) \,$
$\exists e_A \colon \, A \to A \,$ tal que $\forall f\colon A \to A$ tenemos $f\circ e_A = e_A \circ f = f$
$\forall f \colon \, A \to A \, \exists f^{-1} \colon \, A \to A$ tal que $f^{-1} \circ f = f\circ f^{-1} = e_A$

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas $A \to A$ es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de $A\,$ .

[editar] Funciones reales de variable real

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ o entre conjuntos de números ( $\mathbb{N,Z,Q,R,C}$ ).

[editar] Funciones reales y funciones discretas

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

[editar] Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f(x)=|x| tiene por conjunto imagen $[0,+\infty[\;\!$ , por lo que está acotada inferiormente.

[editar] Funciones pares e impares

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))$

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = -f(-x))$

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y)

[editar] Funciones monótonas

La función f es estrictamente creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)$
f es estrictamente decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)$

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

f es creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)$
f es decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)$

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

[editar] Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: $f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\,$ donde $T\,$ es el período.

Véase también: función periódica

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: $f(x) = -f(x + T/2)\,$ . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos

[editar] Funciones concavas y convexas

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función es ese intervalo están por debajo de la función.

Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima de la función.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba' y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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Categorías: Análisis matemático | Teoría de conjuntos