Espacio topológico

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El espacio topológico es la noción de base de la topología elemental, dominio que sólo depende de la teoría de conjuntos (no está construido a partir de otra cosa), y que tiene consecuencias importantes en el campo del análisis porque permite definir rigurosamente la continuidad y los límites.

Un espacio topológico se puede definir de dos maneras.

[editar] Primera definición (punto de vista global)

Sea E un espacio (es decir un conjunto de puntos - apelación que hace pensar a la geometría).

Se nota P(E) las partes de E, o sea sus subconjuntos.

Una topología sobre E es una parte de P(E), es decir un conjunto de subconjuntos de E. Un elemento de la topología será, por lo tanto, un subconjunto de E, que recibe el nombre de abierto.

Una topología T tiene que verificar las tres propiedades siguientes:

$(1) \quad \varnothing \in T, E \in T$

$(2) \quad (O_1 \in T, O_2 \in T) \Rightarrow (O_1 \cap O_2 \in T)$

$(3) \quad (\forall i \in I, O_i \in T) \Rightarrow (\cup_{i\in I} O_i \in T)$

La condición (3) también se puede escribir:

$(3') \quad \forall S \subset T, \cup_{O\in S} O \in T$

Dicho de otra manera, el conjunto vacío y el conjunto entero son abiertos (1), una intersección de dos abiertos es un abierto (2), y una unión cualquiera (es decir que se autoriza tomar una infinidad de términos) de abiertos es un abierto (3). Por inducción evidente, se muestra que la intersección de un número finito de abiertos es un abierto.

El conjunto "E" provisto de la topología "T" se llama espacio topológico, y se escribe (E,T).

Un ejemplo concreto de ello sería: E = R, conjunto de los reales, y T el conjunto de los intervalos abiertos en el sentido usual, y de las reuniones (cualesquiera) de intervalos abiertos. Se sabe que $\varnothing$ y R son intervalos abiertos. Una intersección de dos intervalos abiertos es otro intervalo abierto, eventualmente vacío. Una unión (cualquiera) de abiertos también pertenece a T. Por consiguiente, T es una topología (el lector atento verá que hay una omisión en este raciocinio).

El punto de vista global permite ahorrar axiomas, pero no da una buena idea de la naturaleza de los abiertos.

[editar] Segunda definición (punto de vista local)

En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: ¿qué relación tiene que haber entre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?

Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se da cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos en su frontera o borde, que son puntos en contacto al la vez con A y con su complementario R - A.

En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente en contacto con el "exterior".

No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta distancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B(a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca el complementario. En la figura, a está en el interior de A, mientrás que b está en su frontera, porque cualquier vecindad de b encuentra R - A.

Al hablar de distancia, utilizamos un concepto de los espacios métricos, que son más intuitivos pues corresponden al mundo real (asimilable a R³). En topología, tenemos que cambiar el concepto de bola por el, más general, de vecindad. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su entorno. Tenemos entera libertad para definir el significado de "entorno" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:

x pertenece a todas sus vecindades.
Un conjunto que contiene una vecindad de x es una vecindad de x.
La intersección de dos vecindades de x es también una vecindad de x.
En toda vecindad V de x existe otra vecindad U de x tal que V es una vecindad de todos los puntos de U.

Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.

Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados:

E es obviamente una vecindad para todos sus puntos, y ∅ también porque no contiene punto. (Una propiedad universal: para todo x ... es forzosamente cierta en el conjunto vacío.)
Una unión de abiertos O_i es un superconjunto de cada O_i, y O_i es una vecindad de todos sus puntos, por lo tanto, la unión es una vecindad de todos sus puntos, gracias a la propiedad (2).
Sea x un punto de la intersección de los abiertos O₁ y O₂. O₁ y O₂ son abiertos que contienen x y por lo tanto vecindades de él. Una intersección de vecindades de x es una vecindad de x (propiedad 3), lo que implica que O₁ $\cap$ O₂ es una vecindad de todos sus puntos, y por lo tanto un abierto.