Fracción egipcia

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Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos. Se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. Para demostrar que se puede expresar cualquier número, incluso los que son muy grandes, de esta forma, se puede consultar el artículo sobre la serie armónica.

Un algoritmo que produce la representación de número racional r = a/b entre 0 y 1 como fracción egipcia es el algoritmo goloso de James Joseph Sylvester, que consiste en:

1. Encontrar la fracción unitaria más ajustada a r pero menor que r. El denominador se puede hallar dividiendo b entre a, ignorando el resto y sumando 1. Si no hay resto, r es una fracción unitaria, así que ya no hay que seguir calculando.
2. Restar la fracción unitaria de r y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como r.

Udyat (El ojo de Horus): Jeroglíficos de los primeros números racionales

Ejemplo: convertir 19/20 en fracción egipcia.

• 20/19 = 1 con algún resto, así que la primera fracción unitaria es 1/2.
• 19/20 - 1/2 = 9/20.
• 20/9 = 2 con algún resto, así que la segunda fracción unitaria es 1/3.
• 9/20 - 1/3 = 7/60
• 60/7 = 8 con algún resto, así que la tercera fracción unitaria es 1/9.
• 7/60 - 1/9 = 1/180 que es otra fracción unitaria.

Así que el resultado es

Nótese que la representación de un número racional dado como fracción egipcia no es única, y el algoritmo anterior no siempre devuelve la representación más corta ni la más sencilla:

[editar] Fracciones en Egipto

Los historiadores matemáticos a veces describen el álgebra como algo que se ha ido desarrollando en tres etapas:

1. álgebra retórica, en que el problema se enuncia mediante palabras del lenguaje;
2. álgebra sincopada, en que algunas de las palabras del problema están abreviadas para una mayor simplicidad y comprensión;
3. álgebra simbólica, en que se utilizan símbolos para designar los operadores y operandos, con lo que se simplifica aún más la comprensión.

Un ejemplo de simbolismo es denotar la incógnita como "x". Sabemos, a partir de jeroglíficos egipcios antiguos en yeso o papiro que los antiguos sacerdotes egipcios, en su álgebra retórica, empleaban la palabra "aha" (que significa "montón" o "conjunto") para la incógnita.

Esto se muestra en el Papiro Rhind (circa 1650 adC) en el Museo Británico de Londres, en la traducción de uno de sus problemas "aha":

"Problema 24: Una cantidad y su séptima parte dan conjuntamente 8. ¿Cuál es la cantidad?

Supóngase 7. 7 y ¹/₇ de 7 suman 8. Tantas veces como 8 debe ser multiplicado para dar 19 son las veces que 7 debe ser multiplicado para dar el número deseado."

En su forma simbólica moderna, x + x/7 = 8x/7 = 19, o x = 133/8. Demostración: 133/8 + 133/(7 · 8) = 133/8 + 19/8 = 152/8 = 19.

Los antiguos egipcios calculaban utilizando fracciones unitarias, como¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₁₀, ....

El jeroglífico para una boca abierta denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta" denotaba el denominador de la fracción.

Cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas. De ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como "fracciones egipcias".