Función recíproca

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[editar] Definición

Sea f una función real biyectiva, cuyo dominio (conjunto de definición) es I y cuyo conjunto imagen es J = f(I). Por ser biyectiva, f admite una función recíproca o inversa, denotada f ^-1.

Definición: g es la función recíproca de f si para todo x en I, f(x) = y equivale a g(y) = x.

Como consecuencia, g tiene como dominio J, y como conjunto imagen I : g(J) = I. Por simetría de la relación, resulta que si g es la recíproca de f entonces f es la recíproca de g.

En el ejemplo, I = [ -6; 2 ] y J = [ -6 ; 6 ].

[editar] Propiedades

[editar] Propiedades analíticas

• Al componer f con g, se obtiene la función identidad: , y . Es otra definición posible de la función recíproca, y se suele representar por el esquema siguiente:

• f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.

• Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
  

• f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.

• Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

[editar] Propiedades geométricas

• Los codos que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

• Las tangentes en M y M' tienen pendientes (coeficientes directores) inversos.Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.
  
  

[editar] Ejemplos

Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" . Más generalmente, la raíz de orden n es la recíproca de . También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo.

Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:

Para f(x) = cos(x) = y, g(y) = f ^{− 1}(y) = arccos(y), y utilizando cos²(x) + sin²(x) = 1 se obtiene:

Para f(x) = tan(x) = y, g(y) = f ^{− 1}(y) = arctan(y), y utilizando tan'(x) = 1 + tan²(x) se obtiene:

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.