Geometría clásica
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Podemos considerar como geometría clásica los trabajos de Geometría sintética basados en sistemas axiomáticos que han ido evolucionando desde los axiomas de Euclides a los de Hilbert.
La geometría clásica se ha centrado más en la geometría plana que en la tridimensional. Se consideran habitualmente dos tipos de problemas clásicos en geometría plana:
- Las construcciones: Buscar un algorítmo para obtener una figura geométrica que cumpla unas condiciones dadas.
- Los teoremas: Dada una figura geométrica, demostrar que cumple unas condiciones que nos resulten interesantes para algún propósito.
Se puede considerar la geometría plana isomorfa con un álgebra sobre un par de conjuntos (puntos y rectas) y cinco operaciones básicas.
- Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita).
- Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto dado
- Crear el punto en el que se intersectan dos rectas no paralelas.
- Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersectan (si lo hacen) una línea y una círcunferencia.
- Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersectan (si lo hacen) dos circunferencias.
Desde los axiomas de Hilbert, el concepto de circulo se modifica por el de congruencia de segmentos. Trazar un circulo a partir de un segmento dado se convierte en hayar todos los puntos que forman segmentos congruentes con el segmento dado, a partir del punto dado. Esto permite demostrar cosas como que dos circulos separados menos de 2R se van a cortar en dos puntos. Los axiomas de Euclides no permitían demostrarlo (ni tampoco lo asumían explicitamente).
