Hamiltoniano (mecánica cuántica)
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El Hamiltoniano H tiene dos significados distintos, aunque relacionados. En mecánica clásica, es una función que describe el estado de un sistema mecánico en términos de variables posición y momento, y es la base para la reformulación de la mecánica clásica conocida como mecánica hamiltoniana. En mecánica cuántica, el operador Hamiltoniano es el correspondiente al observable "energía".
[editar] El hamiltoniano cuántico
En mecánica cuántica, el estado físico del sistema puede ser descrito por un vector en un espacio de Hilbert abstracto (o, en ciertos casos, por una secuencia contable de vectores, ponderados por sus probabilidades respectivas). Las cantidades físicas observables son descritas, entonces, por operadores autoadjuntos que actúan sobre este vector (o sobre estos vectores).
El Hamiltoniano cuántico H es el observable que corresponde a la energía total del sistema:
.
donde H es el operador hamiltoniano, 
es un estado propio de H y Ea es la energía de ese estado.
Los vectores propios de H forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert. El espectro de niveles de energía permitidos para el sistema viene dado por el conjunto de valores propios de H, {Ea} que verifican la ecuación que hay sobre estas líneas. La energía del sistema siempre ha de tomar valores reales, así que H ha de ser un operador hermítico.
Dependiendo del espacio de Hilbert del sistema, el espectro de energías puede ser discreto o continuo. Se da el caso de que algunos sistemas presentan un espectro contínuo en un intervalo de energías, y discreto en otro. Un ejemplo es el pozo finito de energía potencial, que admite estados ligados con energías discretas y negativas, y estados libres con energías continuas y positivas.
[editar] Evolución temporal
El Hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos a través de la ecuación de Schrödinger. Si 
es el estado del sistema a tiempo t, tenemos:
.
donde 
es la constante de Planck dividida entre 2 pi. Dado el estado a un tiempo inicial (t = 0), podemos integrarla para obtener el estado en cualquier tiempo subsiguiente. En particular, si H es independiente del tiempo,
.
donde el operador exponencial del lado derecho se define por la serie habitual. Se puede demostrar que es un operador unitario, y es la forma común de operador de evolución temporal o propagador.
