Homotecia

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Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Su definición rigurosa es vectorial:

Definición

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea Ω un elemento (visto como un punto) de E, y kεK un escalar.

La homotecia de centro Ω y de razón k, denotada h_{Ω, k} envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

Propiedades

La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:

1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3. el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).
   

Además la homotecia conserva:

1. el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

1. La imagen de una recta es otra recta paralela.
2. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos)
4. Si k ≠ 0, h_{Ω k} admite como trasformación recíproca h_{Ω 1/k}. (cuando k = 0, no es biyectiva)
5. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: h_{Ω k} o h_{Ω k'} = h_{Ω k·k'}.
6. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k' ≠1, y una traslación sino. Se dice que el conjunto de las homotecias y las translaciones forman un grupo.

k = - 1 corresponde a la simetría de centro Ω, o una rotación al rededor de Ω de ángulo π radianes (180·)
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.

[editar] Homotecias en el plano

Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.

Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transfomra en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.

Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de la homotecia es negativa.