Identidad de Euler

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Se llama identidad de Euler a una fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar los cinco números más famosos de la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

donde:

π es el número más importante de la geometría
e es el número más importante del análisis matemático
i es el número más importante del álgebra
0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Otra curiosidad de esta fórmula es que, si le escribimos de esta manera:

$e^{i \pi} = -1\;$

representa la evolución del concepto de número a lo largo de la historia. Desde el concepto más intuitivo, los números naturales, conocidos desde la prehistoria, añadiendo los números negativos (representados por -1) obtenemos los números enteros. Luego, añadiendo las fracciones (no aparecen) obtenemos los racionales. Después, añadiendo los irracionales (e y π) obtenemos los números reales. Y finalmente, añadiendo los números imaginarios (representados por i) obtenemos los números complejos.

Volviendo a la primera fórmula, se puede ver que también cuenta la historia de una evolución en las matemáticas, en este caso de las operaciones aritméticas. Aparecen una suma, un producto y una potencia.

La demostración de la identidad es sencilla, para ello partiremos de los algoritmos de tipo series infinitas del seno y de $e x$ , siendo estos:

$e^{x} = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots = \sum_{n=0}^\infty\left( \frac{x^{n}}{n!}\right);$

$\sin{x} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\pm\dots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!};\;$

Y teniendo en cuenta que: $i 2 = - 1$ , $i 3 = - i$ y $i 4 = 1$ podemos sustituir en el algoritmo de $e x$ :

$e^{z\cdot i} = 1+\frac{z\cdot i}{1!}+\frac{-z^2}{2!}+\frac{z^3\cdot(-i)}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\dots = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n\cdot z^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\cdot i +\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n\cdot z^{2n}}{(2n)!}\right);\;$