Inversión en el plano
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Sea O un punto en el plano y r una constante real distinta de cero. La inversión respecto del punto O y de potencia r2 es una transformación en la que la imágen B de un punto A, distinto de O, es tal que los tres puntos son colineales y el producto de distancias OA.OB = r2.
Es claro que la imagen del punto B en esta inversión es el punto A. Se dice que los puntos A y B son inversamente simétricos el uno del otro.
En la figura de la derecha, las circunferencias S1 y S2 son ortogonales, esto es las tangentes en los puntos de contacto son rectas perpendiculares.
La potencia de O respecto de la circunferencia S2 es igual a r2. En particular, OA.OB = r2.
- Cada punto de la cirunferencia S1 es invariantes en la inversión. Se dice que S1 es la circunferencia de puntos invariantes. Al punto O se le llama centro de inversión.
- La cirunferencia S2 es invariante en la inversión. Más aun, toda circunferencia ortogonal a S1 es invariante en la inversión.
[editar] Imagen de una recta en una inversión
De la definición de inversión, es claro que toda recta que pase por el centro de inversión es invariante.
Sea r una recta que no pase por el centro de inversion O. Sea P el pie de la perpendicular a r por el punto O y Q su imagen en la inversión. Sea A un punto arbitrario de r, distinto de P y sea B el pie de la perpendicular por el punto Q a la recta OA. Los triángulos OAP y OQB son semejanes y de las razones
se sigue que
y por tanto B es el simétrico de A en la inversión.
B es vértice de un triángulo rectángulo cuyos lados pasan por los puntos O y Q. Como el lugar geométrico de los vértices de triángulos, cuyos lados pasan por un par de puntos fijos, es una circunferencia, cuyo diámetro está determinado por dichos puntos fijos, conluimos que la imágen de la recta r es la circunferencia de diámetro OP.
