Movimiento circular uniforme

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El movimiento circular uniforme es aquel en el que un móvil se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal modo que en tiempos iguales recorra espacios iguales.

No podemos decir que la velocidad es constante, ya que la velocidad, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido, el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento. La dirección está constantemente cambiando siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular, esto nos advierte de la presencia de una aceleración que da lugar a esta variación, que si bien en este caso, no varia al módulo de la velocidad, si varia su dirección.

Aquí trataremos los conceptos de desplazamiento angular y velocidad angular que:

El desplazamiento angular es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio:

$\varphi = \frac{arco}{radio}$

Hay que tener en cuenta que la longitud del arco de circunferencia y el radio de esa circunferencia son magnitudes de longitud, luego el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radian es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, como es obvio una circunferencia completa tiene $2π$ radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

$\omega = \frac{d\varphi}{dt}$

Partiendo de estos conceptos veamos las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo cinemático.

[editar] Sistema de referencia

Consideraremos un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en el sentido de estos ejes $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , que es un sistema inercial. Sin perdida de la generalidad, tomaremos el centro de giro del movimiento en el origen de coordenadas.

Tomaremos un segundo sistema de referencia $(O; \vec{u}_r, \vec{u}_t)$ , con el mismo centro de coordenadas, un eje racial que partiendo del centro de coordenadas pasa en todo momento por la posición de la partícula y un eje tangencial que pasando por el centro de coordenadas, es perpendicular al eje radial, cuando el ángulo de giro es cero, el eje x coincide con el radial y el eje y con el tangencial y para un ángulo $\varphi$ dado, se cumple:

$\vec{i}= Cos (\varphi) \vec{u}_r - Sen (\varphi) \vec{u}_t$

$\vec{j}= Sen (\varphi) \vec{u}_r + Cos (\varphi) \vec{u}_t$

[editar] Trayectoria o vector de posición

La posición de la partícula en función del ángulo de giro $\varphi$ y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

$x = r Cos (\varphi)$

$y = r Sen (\varphi)$

El vector de posición de la partícula será:

$\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j}$

Al ser un movimiento uniforme, a incrementos de tiempo iguales le corresponden desplazamientos iguales, lo que se traduce en:

$\omega = \frac{\varphi}{t}$

esto es:

$\varphi = \omega {t}$

Según todo lo anterior el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

$\vec{r} = r Cos (\omega {t}) \vec{i} + r Sen (\omega {t}) \vec{j}$

donde:

$\vec{r} \,$ : es el vector de posición de la particula.

$r \,$ : es el radio de giro.

$\omega \,$ : es la velocidad angular, que es constante en este caso.

$t \,$ : es el tiempo.

Partiendo del vector de posición en el sistema xy, vamos a pasarlo al sistema de coordenadas de versores ur ut, de tal modo que veamos sus componentes en estas coordenadas, la conclusión es muy sencilla y con un poco de ingenio podíamos llegar a ella sin realizar los operaciones, pero hagamoslo de un modo sistemático, por sustitución de los versores de un sistema por los del otro, partimos del vector posición:

$\vec{r} = r Cos (\omega {t}) \vec{i} + r Sen (\omega {t}) \vec{j}$

sustituimos sus versores por su equivalencia en el otro sistema:

$\vec{r} = r Cos (\omega {t}) [Cos (\omega {t}) \vec{u}_r - Sen (\omega {t}) \vec{u}_t] + r Sen (\omega {t}) [Sen (\omega {t}) \vec{u}_r + Cos (\omega {t}) \vec{u}_t]$

dehacemos los paréntesis:

$\vec{r} = r Cos^2 (\omega {t}) \vec{u}_r - r Sen (\omega {t}) Cos (\omega {t}) \vec{u}_t + r Sen^2 (\omega {t}) \vec{u}_r + r Sen (\omega {t}) Cos (\omega {t}) \vec{u}_t$

agrupando:

$\vec{r} = r [Cos^2 (\omega {t}) + Sen^2 (\omega {t})] \vec{u}_r + r[-Sen (\omega {t}) Cos (\omega {t}) + Sen (\omega {t}) Cos (\omega {t})] \vec{u}_t$

simplificando:

$\vec{r} = r \vec{u}_r$

Llegando a la conclusión de que el vector de posición tiene por coordenada el valor del radio, según el versor radial, y no tiene componente tangencial, como ya se ha dicho en un principio esta conclusión es obvia, y por propia intuición se podía haber visto sin realizar los cálculos, pero con este mismo método calcularemos la velocidad y la aceleración y veremos que las conclusiones no son tan evidentes.

[editar] Velocidad

Partiendo del vector de posición y de la definición de velocidad:

$\vec{r} = r Cos (\omega {t}) \vec{i} + r Sen (\omega {t}) \vec{j}$
$\vec{V} = \frac{d \vec{r}}{dt}$

tenemos:

$\vec{V} = \frac{d}{dt}(r Cos (\omega {t}) \vec{i} + r Sen (\omega {t}) \vec{j})$

Realizando la derivada:

$\vec{V} = - r \omega Sen (\omega {t}) \vec{i} + r \omega Cos (\omega {t}) \vec{j}$

Éste es el vector velocidad, vamos a cambiar de sistemas de coordenadas para conseguir sus componentes según el sistema radial tangencial:

$\vec{V} = - r \omega Sen (\omega {t}) [Cos (\omega {t}) \vec{u}_r - Sen (\omega {t}) \vec{u}_t] + r \omega Cos (\omega {t}) [Sen (\omega {t}) \vec{u}_r + Cos (\omega {t}) \vec{u}_t]$

dehaciendo paréntesis:

$\vec{V} = - r \omega Sen (\omega {t}) Cos (\omega {t}) \vec{u}_r + r \omega Sen^2 (\omega {t}) \vec{u}_t + r \omega Sen (\omega {t})Cos (\omega {t}) \vec{u}_r + r \omega Cos^2 (\omega {t}) \vec{u}_t$

agrupando por versores:

$\vec{V} = r \omega [-Sen (\omega {t}) Cos (\omega {t}) + Sen (\omega {t})Cos (\omega {t}) ] \vec{u}_r + r \omega [Sen^2 (\omega {t}) + Cos^2 (\omega {t}) ] \vec{u}_t$

simplificando:

$\vec{V} = r \omega \vec{u}_t$

La conclusión es que la velocidad no tiene componente radial y su componente tangencial tiene por módulo el producto del radio por la velocidad angular, lo que podríamos representar:

$| \vec{V}| = V = r \omega$

[editar] Aceleración

Del mismo modo que hemos calculado el vector posición y velocidad, podemos calcular la aceleración, para ello partiremos del vector velocidad y de la definición de aceleración:

$\vec{V} = - r \omega Sen (\omega {t}) \vec{i} + r \omega Cos (\omega {t}) \vec{j}$
$\vec{a} = \frac{d \vec{V}}{dt}$

Con lo que tenemos:

$\vec{a} = \frac{d}{dt}(- r \omega Sen (\omega {t}) \vec{i} + r \omega Cos (\omega {t}) \vec{j})$

haciendo la derivada:

$\vec{a} = - r \omega^2 Cos (\omega {t}) \vec{i} - r \omega^2 Sen (\omega {t}) \vec{j}$

Podríamos sustituir los versores como en el caso de la velocidad para conseguir las componentes radial y tangencial de la aceleración, pero hay una forma más ingeniosa, partiendo del vector posición, sabiendo que:

$\vec{r} = r Cos (\omega {t}) \vec{i} + r Sen (\omega {t}) \vec{j}$

$\vec{r} = r \vec{u}_r$

la aceleración es:

$\vec{a} = - r \omega^2 Cos (\omega {t}) \vec{i} - r \omega^2 Sen (\omega {t}) \vec{j}$

esto es:

$\vec{a} = - \omega^2 [ r Cos (\omega {t}) \vec{i} + r Sen (\omega {t}) \vec{j}]$

La expresión entre corchetes es el vector posición, sustituyéndolo:

$\vec{a} = - \omega^2 \vec{r}$

esto es:

$\vec{a} = - \omega^2 r \vec{u}_r$

Aplicando el método general habríamos llegado a la misma conclusión, la aceleración no tiene componente tangencial, solo tiene componente radial, el sentido de la aceleración es el contrario del vector posición, apuntando hacia el centro de giro, y su módulo es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro. Esta aceleración es la sufrida por la partícula cuando gira a velocidad constante, una partícula que lleve un movimiento circular uniforme tiene que estar sometida a una fuerza centrípeta que impide que lleve una trayectoria lineal, como correspondería por la ley de inercia. La fuerza que hace que la partícula tienda a continuar un movimiento rectilíneo, en lugar de hacer el giro con un radio dado, es la fuerza centrífuga, antagonista con la centrípeta que tiene que compensar.

Partiendo de la expresión del módulo de la velocidad tangencial:

$| \vec{V}| = V = r \omega$

despejando $ω$ , tenemos:

$\omega = \frac{V}{r}$

Partiendo de esta expresión y la de la aceleración:

$a = \omega^2 r \,$
$\omega = \frac{V}{r}$

tenemos que:

$a = \frac{V^2}{r^2} r$

simplificando:

$a = \frac{V^2}{r}$

La aceleración centrifuga sufrida al realizar un giro es proporcional al cuadrado de la velocidad tangencial e inversamente proporcional al radio de giro, si doblamos la velocidad en un giro la fuerza centrifuga se multiplica por cuatro, si el radio de giro es el doble la fuerza centrifuga de reduce a la mitad, esta proporción es valida también para vehículos que describen una curva o realizan un giro.

[editar] Período y frecuencia

Dado el carácter periódico del movimiento circular uniforme, éste puede estudiarse mediante dos nuevas magnitudes: el período y la frecuencia.

El período (T) es una magnitud que mide la cantidad de tiempo necesaria para realizar una revolución completa. Se mide en segundos. Responde a la fórmula:

$T=\frac{2\cdot\pi}{\omega}$ (7) donde: $T \,$ : representa al periodo $π$ : representa al número Pi. $ω$ : representa la velocidad angular. La frecuencia es una magnitud que mide el número de revoluciones por unidad de tiempo. Se mide en herzios (Hz). Responde a la fórmula: $f=\frac{\omega}{2\cdot\pi}$ (8) $f$ : representa a la frecuencia. $π$ : representa al número Pi. $ω$ : representa la velocidad angular. Al ser la frecuencia la inversa del período también se puede calcular mediante la fórmula: $f = \frac{1}{T}$ (9)