Producto escalar

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En matemáticas el producto escalar (también conocido como producto interno o producto punto) es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.

Tabla de contenidos

1 Definición general
2 Definición simplificada para espacios euclídeos reales
- 2.1 Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real
- 2.2 Productos interiores definidos en espacios vectoriales
3 Temas relacionados

[editar] Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, i.e., una operación $<\cdot,\cdot>: V \times V \longrightarrow K$ donde $V$ es el espacio vectorial y $K$ es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:

$<ax+by,z> = a <x,z> + b <y,z> \,$ (lineal en la primera componente),
$<x,y> = \overline{<y,x>}$ (hermítica),
$<x,x> \geq 0 \,$ , y $<x,x> = 0 \,$ si y sólo si $x = 0 \,$ (definida positiva),

donde $x,y,z \,$ son vectores arbitrarios, $a,b \,$ representan escalares cualesquiera y $\overline{c}$ es el conjugado del complejo $c \,$ .

Es de destacar que si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., $\mathbb{R}$ ), la propiedade de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por $(\cdot|\cdot)$ o por $\bullet$ .

Un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita se dirá que es un espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera: $||x|| := \sqrt{<x,x>}$ .

[editar] Definición simplificada para espacios euclídeos reales

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo $θ$ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar.

Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa.

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta$

El producto escalar, también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre sí):

$\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

[editar] Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real

Conmutativa: $\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}$

Asociativa: $m (\vec{A} \cdot \vec{B})= (m\vec{A}) \cdot \vec{B}=\vec{A}\cdot(m\vec{B})$

Distributiva: $\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}$

Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0).

[editar] Productos interiores definidos en espacios vectoriales

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

$\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... a_n b_n$

En el espacio vectorial $\mathbb{C}^n$ se suele definir el producto interior por:

$\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + ... a_n \overline{b_n}$

En el espacio vectorial de las matrices de mxn elementos

$\vec{A}\cdot\vec{B}=tr(B^t A)$

donde tr es la traza de la matriz.

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el invervalo acotado por a y b (C[a,b])

$\vec{f}\cdot\vec{g} = \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx$

Dado $[x 1, x 2, x 3,..., x n, x n + 1]$ ⊆ $\mathbb{R}$ tal que $x 1 < x 2 < x 3 < ... < x n < x n + 1]$ , en el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a $n$

$\vec{p}\cdot\vec{q} = p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+...+p(x_n)q(x_n)+p(x_n+1)q(x_n+1)$

Cabe resaltar que como los productos interiores anteriores para los espacios vectoriales anteriormente señalados, se pueden definir cualquier otro con la condición de que únicamente debe satisfacer la definición de un producto interior.