Pequeño teorema de Fermat
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El pequeño teorema de Fermat enuncia que si p es un número primo, entonces, para cada número natural a,
Formalmente:
-
-
- Sea
, entonces... 
.
- Sea
-
Esto quiere decir que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p (véase aritmética modular). Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad.
Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat que fue sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew Wiles en 1994.
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[editar] Historia
Pierre de Fermat descubrió el teorema alrededor de 1636. Aparece en una de sus cartas a su confidente Frénicle de Bessy, fechada el 18 de octubre de 1640, con el siguiente texto: p divide a ap-1 - 1 cuando p sea primo y a sea coprimo con p.
Los matemáticos chinos formularon la hipótesis (a veces conocida como hipótesis china) de que p es primo si y sólo si 2p = 2 mod p. Es verdad que, si p es primo, entonces 2p = 2 mod p (este es un caso especial del pequeño teorema de Fermat), pero el recíproco (si 2p = 2 mod p, entonces p es primo) no lo es, por lo que la hipótesis es falsa.
Se cree ampliamente que la hipótesis china fue desarrollada 2000 años antes del trabajo de Fermat en el siglo XVII. Aunque la hipótesis sea parcialmente incorrecta, es notable que pueda haber sido conocida por los matemáticos de la Antigüedad. Algunos, sin embargo, sostienen que la creencia de que esta hipótesis fuera conocida hace tanto tiempo es fruto de un error de comprensión, y que se desarrolló realmente en 1872. Para más información sobre este asunto, consúltese (Ribenboim, 1995).
[editar] Generalizaciones
Una pequeña generalización del teorema, que se sigue de él, dice lo siguiente: si p es primo y m y n son enteros positivos con m ≡ n (mod p-1), entonces am ≡ an (mod p) para todos los enteros a. Expresado así, el teorema se utiliza para justificar el método de encriptación de clave pública RSA.
El pequeño teorema de Fermat se puede generalizar mediante el teorema de Euler: para cualquier módulo n y cualquier entero a coprimo con n, se tiene:
donde φ(n) es la función fi de Euler que cuenta el número de enteros entre 1 y n coprimos con n. Ésta es de hecho una generalización, ya que si n = p es un número primo, entonces φ(p) = p - 1.
El teorema de Carmichael lo generaliza aún más.
[editar] Pseudoprimos
Si a y p son números coprimos tales que ap-1 - 1 es divisible por p, entonces p no tiene por qué ser primo. Si no lo es, entonces p se dice que es un pseudoprimo en base a. Un número p pseudoprimo en base a para todo número a coprimo con p se dice que es un número de Carmichael.
[editar] Referencias
- Ribenboim, P. (1995). The New Book of Prime Number Records (3rd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94457-5.
