Número natural

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Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ Número Naturales $\mathbb{N}$ Enteros $\mathbb{Z}$ Racionales $\mathbb{Q}$ Irracionales $\mathbb{I}$ Reales $\mathbb{R}$ Complejos $\mathbb{C}$
Números destacables
π (Pi) (3.1415926535...) e (2.7182818284...) Φ (1,6180339887...) i ( $\sqrt{-1}$ )
Números Especiales
Nominales Ordinales {1^o,2^o,...} (de orden) Cardinales { $\aleph_1, \aleph_2, \cdots$ } Números infinitos Números transfinitos
Números con propiedades especiales
Primos $\mathbb{P}$ , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

Un número natural es cualquiera de los números: 0,1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza.

Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta.

Tabla de contenidos

1 Definiciones
- 1.1 Postulados de Peano
- 1.2 Definición en teoría de conjuntos
2 Uso de los números naturales
3 Definiciones no matemáticas de los números naturales
4 Historia

[editar] Definiciones

[editar] Postulados de Peano

Aunque cualquier niño pequeño entendería lo que reconocemos por números naturales, su definición no es sencilla. Los Postulados de Peano describen de manera unívoca (eso es bastante discutible, pues si alguien sabe algo de lógica seria, sabe que hay un modelo de la aritmética de Peano con elementos "infinitos" (la famosa aritmética no estándar), propiedad que no tienen los naturales usuales) el conjunto de los números naturales, que se denota por N (o más exactamente por el carácter informático unicode ℕ si su navegador soporta la representación de caracteres unicode), de la siguiente forma:

Sea el número natural 1
Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por a + 1.
No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 1.
Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es: si a ≠ b, entonces a + 1 ≠ b + 1.
Si S es un subconjunto de los números naturales tal que
1. 1 está en S
2. si n está en S entonces n+1 está en S, entonces S es el conjunto de los números naturales

[editar] Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. Se define entonces que el conjunto más pequeño (el conjunto vacío) es un número natural que se denota por $0$ y que cada número natural $n$ tiene un sucesor denotado como $n +$ . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

$0=\emptyset$

$n^+=n\cup \{n\}$

De esta manera, cada número natural se define como el conjunto de todos los números naturales anteriores a él. Por ejemplo:

Por definición $0 = {}$ (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
1 es el sucesor de 0, entonces $1=0^+=\emptyset\cup\{0\}=\{0\}$
2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces $2=1^+=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}$
y en general

3 = {0,1,2}

4 = {0,1,2,3}

5 = {0,1,2,3,4}

$\vdots$

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define la mediante la expresión

$a\leq b \Leftrightarrow a\subseteq b$

es decir que un número $a$ es menor o igual que $b$ si y sólo si $b$ contiene a todos los elementos de $a$ .

Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. Este último postulado asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Se define la suma por inducción mediante la expresión:

a + b + = (a + b) +

Lo que convierte a los números naturales $(\mathbb{N}, +)$ en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en en grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante la expresión

$a\times b^+=(a\times b)+a$

Esto convierte $(\mathbb{N}, \times)$ (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo; suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva que se expresa como sigue:

$a\times(b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

Los números naturales están totalmente ordenados; La relación de orden $a\leq b$ se puede redefinir como $a\leq b$ si y sólo si existe otro número natural $c$ que cumple: $a + c = b$ . Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas de esta manera:

si $a$ , $b$ y $c$ son números naturales y $a\leq b$ , entonces

$a+c\leq b+c$ y

$a\times c\leq b\times c$

Una propiedad importante de los números naturales es que son tienen un buen orden: esto es, cualquier conjunto compuesto de números naturales tiene un elemento mínimo (uno más pequeño que los demás).

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Para cualesquiera dos números naturales a y b, con b≠ 0 , podemos encontrar otros naturales q y r tales que

$a = (b\times q) + r$ y

r < b

El número q lo llamamos el cociente y r el resto. Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

[editar] Uso de los números naturales

Los números naturales son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de cardinal. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos no son el mismo.

[editar] Definiciones no matemáticas de los números naturales

Definición de Números: Son símbolos con los cuales se busca indicar una cantidad, estos símbolos según datos históricos comienzan en el antiguo Egipto y la Mesopotamia, no se sabe dónde, cuándo, ni por quién, pero fueron inventados por el hombre, al observar la gran cantidad y variedad de elementos que hay en la naturaleza. Surgió entonces la necesidad e inquietud matemática.
Empezaron los antiguos a clasificar los elementos que tenian a su alrededor: árboles, frutas, animales, etc... Y luego los enumeraron: 2 árboles, 3 manzanas, 5 rocas, etc... Fue así como de esta relación de orden y clasificación surgió el concepto de número abstracto y de allí surge la matemática.
Definición de Natural: Según el diccionario Larousse se refiere a la naturaleza y también al originario de un lugar, ahora bien según Mirtha Elías K. en su libro Matemática de 7mo Grado, Pág. 9 Capítulo I, dice que natural es algo cotidiano y se usa casi sin advertirlo.
Por qué es un Número Natural: Según Mirtha Elías K. todo se encuentra en la naturaleza por eso los números naturales se llaman así, porque los usamos en forma natural casi sin advertirlo.
Enrique Navarro en su libro matemática de 7mo Grado, Pág. 16, los define como el conjunto de los números enteros positivos, entendiéndose por entero todo número no decimal, ni fraccionario y como positivo todo número que se ubica a la derecha del cero en la recta real.

[editar] Historia

Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los Griegos y Romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los Romanos además de las letras utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base solida, fue Dedekind. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuvo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

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Categoría: Teoría de números