Polimonio
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POLINOMIO
Define Polinomio
Un polinomio es una función donde n E N (número natural); a0, a1, a2, ... , anson coeficientes reales (pertenecientes al conjunto de los números reales) y "x" se denomina coeficiente indeterminado. 1 P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + ... + a n
Clases de Polinomios
Los polinomios pueden clasificarse de la siguiente manera:
Según sus términos los polinomios pueden ser:
Monomio: es un polimonio de un sólo término.
Ejemplo: 4x4y2, 8a3b2c, m2n3
Binomio: es un polinomio de dos términos.
Ejemplo: 3x2y +5x3y2
Trinomio: es un polinomio de tres términos.
Ejemplo: 3x4 +xyz -2y2z
Aplicaciones, ejemplos
Los polinomios nos son muy útililes en los distintos campos de la vida cotidiana como por ejemplo: • Cuando se presenta la oportunidad de ir al mercado hacer compras tendremos que utilizar los polinomios para determinar lo gastado. En este caso la variable serían los precios de lo que compro. • Otro campo donde utilizamos los polinomios es la albañilería cuando por ejemplo los albañiles quiern saber cuanto es lo que van a gastar y el material que necesitan para realizar su obra. Entonces en este caso la variable sería la plata que se gastará en los materiales. • Otro ejemplo donde podemos utilizar polinomios es queremos saber cuantas horas de clase levamos al mes, en este caso multiplicamos el número de horas que estudiamos en un día por la cantidad de días que asistimos al colegio en un mes. Grado de un polinomio:
Grado Relativo: es el mayor de los valores de las variables de los términos.
Ejemplo: 4a3b2 +5a5b1 , el valor absoluto del polinomio con respecto "a" es 5
Grado Absoluto: es la mayor suma de los exponentes de los términos.
Ejemplo: 4a3b2 +5a5b1, en este caso el grado absoluto del polinomio es 6 porque es la mayor suma de los términos.
Grado de las operaciones algebraicas:
Grado de un cociente: Cuando témenos el gardo de un cociente los restan los grados del dividendo con el divisor.
Grado de un producto: Cuando se nos presenta el caso de el grado de un producto los grados de los factores en este caso se suman.
Ejemplos: (x4. x5.x3) en este caso los grados de cada factor 4+5+3= 12. Grado de una potencia: Cuando tenemos el grado de una potencia se multiplica el grado de la base por el exponente.
Ejemplo: (x4. x5.x3)2 en este caso primero sumamos los exponentes 4+5+3= 12 y el 12 lo multiplicamos por 2 y el grado sería 24 Grado de una radicación: en este tipo de operaciones algebraicas se divide el grado del radical por el grado de índice. Polinomios Especiales
Polinomios Homogéneos: Un polinomio es homogéneo cuando sus términos son del mismo grado absoluto.
Ejemplo: 2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4
Polinomios Heterogéneos: Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado absoluto.
Ejemplo: 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3
Polimonios Completos: Un polinomio es completo cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo.
Ejemplo: 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5
Polinomios Ordenados: Un polinomio es ordenado cuando sus exponentes se encuentran en orden empezando desde el mayor hasta el menor.
Ejemplo: x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x -1
Polimonios Idénticamente nulo: Son aquellos polinomios donde los coeficientes de cada término son cero.
Ejemplo: P(x) = anxn + an-1xn-1….. a2x2 an = an-1 ………= 0
Polimonios Idénticos: Dos polinomio son idénticos cuando los coeficientes que afectan sus términos semejantes son iguales.
Ejemplos: P(x) = 3x4- 2x- 8 P(y) = ax4+ bx2+c a = 3 b = -2 c = -8 Operaciones con polinomios:
3.4.1.1. Adición:
Los polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para sumar dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Pero también puede hacerse más fácil reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o r según su signo.
Ejemplos: Para sumar P(x) = 3x4 – 5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así: P(x) + Q(x) = (3x4 – 5x2 + 7x) + (x3 + 2x2 – 11x + 3) = 3x4 + x3 + x2 (2– 5) + x (7 – 11) + 3 =P(x) + Q(x) = 3x4 + x3 – 3x2 – 4x + 3
3.4.1.2. Sustracción
Para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo:
P(x) - Q(x) = (3x4 – 5x2 + 7x) - (x3 + 2x2 – 11x + 3) (3x4 – 5x2 + 7x) - (x3 + 2x2 – 11x + 3) 3x4 – 5x2 + 7x - x3- 2x2+11x -3 3x4- x3 - 7x2 + 18x - 3
3.4.1.3. Multiplicación
Para multiplicar polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y posteriormente se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo:
P(x) . Q(x) = (5x + 11) (x3 + 2x2 + 4) (aplicamos distributiva) P(x) . Q(x) = 5x4 + 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2 + 44 (sumamos) P(x) . Q(x) = 5x4 + (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x + 44 P(x) . Q(x) = 5x4 + 21 x3 + 22x2 + 20x + 44
3.4.1.4. Productos notables: casos, Identidades de Legendre
Productos Notables son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Casos de Productos notables:
1. Binomio de un Cuadrado Suma:( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2. Binomio de un Cuadrado Diferencia: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3. Diferencia de Cuadrados: ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 4. Binomio Suma al Cubo: ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b) 5. Binomio Diferencia al Cubo: ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 6. Suma de dos Cubos: a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) 7. Diferencia de Cubos: a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2) 8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac) 9. Trinomio Suma al Cubo: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
10. Identidades de Legendre: ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2(a2 + b2) ( a + b)2 - ( a – b)2 = 4 ab 11. Producto de dos binomios que tienen un término común: ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
