Polinomio

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, un polinomio, es un conjunto de constantes y variables que se combinan usando adición, substracción y multiplicación. Por ejemplo:

$2 x^2 y z^3 - 3 y^2 + 5 y z - 2 \,$

es un polinomio, pero

${1 \over x^2 + 1} \,$

no es un polinomio.

Por extensión, las funciones polinómicas son las funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables que están definidos. Son una clase importante de funciones suaves. Esto significa que son infinitamente diferenciables, es decir, tienen derivadas de todos los órdenes finitos.

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y son usados extensivamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal, el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo del ordenador, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y proveen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.

[editar] Definición

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero, para n > 0, entonces una polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$f(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n.$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando notación sigma como

$f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.

A cada sumando a_i xⁱ del polinomio se le llama término. Un polinomio con uno, dos o tres términos es llamado monomio, binomio o trinomio, respectivamente.

A las funciones polinomiales de

grado 0 se les llama funciones constantes (excluyendo el polinomio cero, que tiene grado indeterminado),
grado 1 se les llama funciones lineales,
grado 2 se les llama funciones cuadráticas,
grado 3 se les llama funciones cúbicas.

[editar] Historia

La determinación de las raíces de los polinomios, o "resolver ecuaciones algebraicas", está entre los problemas más viejos de la matemática. Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1 , no tienen ninguna raíz en los números reales. Sin embargo, si el conjunto de las raíces candidatas se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas cerradas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta 4 grado desde el siglo 16 (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron esquivas para los investigadores durante un tiempo prolongado. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el resultado que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de grado 5 o mayores en términos de sus coeficientes (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se encarga de un estudio detallado de las relaciones entre las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear grandes tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales automáticamente, evaluando aproximaciones polinomiales en muchos puntos usando el método de las diferencias de Newton.

[editar] Ejemplos

Polinomio de grado 2: f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)	Polinomio de grado 3: f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio de grado 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	Polinomio de grado 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2