Prisma mecánico

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Un prisma mecánico es un sólido deformable cuya forma geometrica puede generarse al mover una sección transversal plana a lo largo de una curva, de tal manera que el centro de masa de la sección esté en todo momento sobre la curva y el vector tangente a la curva sea perpendicular a la sección transversal plana. Podemos clarificar esto

Un cilindro por ejemplo es una pieza prismática generada por un círculo que se desplaza a lo largo de una línea recta vertical.
Un tubo (curvado o recto) es una pieza prismática generada por una corona circular moviéndose a lo largo de una curva suave.
Una viga de sección transversal constante es una pieza prismática.

Una pieza prismática queda caracterizada por su eje baricéntrico (la curva a lo largo de la cual se desplaza la sección transversal), su sección transversal (la forma del corte según un plano perpendicular al eje) y el material en el que está fabricada.

[editar] Descripción geométrica

Dado un prima mecánico K, si llamamos E al eje (que puede ser recto o curvo) y S a la forma de la sección transversal de una pieza prismática, topológicamente la geometría de la misma es: ExS. Por tanto, para una pieza prismática puede construirse un sistema de coordenadas (s, y, z) de tal manera que s represente la longitud de arco a lo largo de la curva E e (y, z) sean coordenadas cartesianas sobre la sección transversal y el vector de posición r de cualquier punto de la pieza prismática puede expersarse como:

$\mathbf{r}(s,y,z) = \mathbf{r}_{eje}(s) + y\mathbf{n}(s)+ z\mathbf{b}(s)$

$\mathbf{t}(s) = \frac{d\mathbf{r}_{eje}(s)}{ds} \qquad \mathbf{n}(s) = \frac{1}{\chi}\frac{d\mathbf{t}(s)}{ds} \qquad \mathbf{b}(s) = \frac{1}{\tau}\left( \frac{d\mathbf{n}(s)}{ds}+\chi\mathbf{t}\right)$

Donde los vectores t, n y b son los vectores tangente, normal y binormal del triedro de Frênet-Serret del punto r(s, x, y) de la curva E; χ y τ son respectivamente la curvatura geométrica y la torsión geométrica del eje de la pieza prismática. El sistema de coordenadas anterior para la pieza estará bien definido para puntos tales que:

$h=\sqrt{(y_{max}-y_{min})^2+(z_{max}-z_{min})^2}$

$h<<\chi^{-1} \ \and h <<L=(s_{max}-s_{min}$

[editar] Descripción cinemática

Una pieza prismática presenta la peculiaridad mecánica de que cualquier deformación tridimensional puede expresarse en términos de la deformación del eje E(desplazamientos del mismo, cambios de curvatura y torsión). La ecuación que relaciona los desplazamientos y giros del eje, con el campo de desplazamientos del sobre todo el prisma (considerado como sólido deformable) se llama hipótesis cinemática.

La deformación de un sólido puede expresarse como un campo vectorial dependiente de tres coordenadas de posición (x, y y z). En cambio la deformación de una pieza prismática queda determinada a partir de los desplazamientos del eje y los giros de las secciones transversales al rededor de él. De hecho la hipótesis cinemática para los desplazamientos de una pieza alargada es:

$\mathbf{d}(x,y,z) = \begin{Bmatrix} u*(s,y,z) \\ v*(s,y,z) \\ w*(s,y,z) \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & z-z_G & -(y-y_G)\\ 0 & 1 & 0 & -(z-z_C) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & z-y_C & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} u(s) \\ v(s) \\ w(s) \\ \theta_x(s) \\ \theta_y(s) \\ \theta_z(s) \\ \end{Bmatrix}$

Lo anterior implica que las deformaciones sobre una pieza alargada usando las coordenadas curvilíneas (s, y, z) son (despreciando las componentes ε_yy, ε_zz y ε_yz) para una pieza en que el centro de torsión coincida con el centro de gravedad:

$\begin{Bmatrix} \varepsilon_{ss}(s,y,z) \\ \varepsilon_{sy}(s,y,z) \\ \varepsilon_{sz}(s,y,z) \end{Bmatrix} = \frac{\chi}{1-\chi y} \begin{Bmatrix} -v(s)+z\theta_x(s) \\ +u(s)+z\theta_x(s)-y\theta_y(s) \\ 0 \\ \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} -\theta_{z}(s) \\ 0 \\ \theta_{y}(s) \\ \end{Bmatrix}$

Donde $\chi \,$ es la curvatura inicial del eje.

[editar] Esfuerzos sobre piezas prismáticas

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