Longitud de arco

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Para otros usos de este término, véase Longitud.

Determinar la longitud de arco de un segmento irregular —también llamado rectificación de una curva— históricamente fue difícil. Aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, con la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general que calcula soluciones cerradas para algunos casos.

Tabla de contenidos

1 Métodos modernos
2 Métodos Históricos
- 2.1 Antigüedad
- 2.2 1600s
3 Véase también

[editar] Métodos modernos

Al considerar una función $f \left ( x \right )$ y su respectiva derivada $f' \left ( x \right )$ que son continuas en un intervalo [a, b]. La longitud s del arco delimitado por a y b es dado por la fórmula:

$s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left [ f' \left ( x \right ) \right ] ^2} \, dx$

Si la función esta definida parametricamente donde $x = f \left ( t \right )$ y $y = g \left ( t \right )$ :

$s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left [ f' \left ( t \right ) \right ] ^2 + \left [ g' \left ( t \right ) \right ] ^2} \, dt$

Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo porlar están relacionados $r = f (θ)$ , la longitud de una curva se reduce a:

$s = \int_{a}^{b} \sqrt{r^2 + \left [ \frac {dr}{d \theta\ } \right ] ^2} \, d \theta\$

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevara a una integral elíptica de segundo orden.

Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, cicloide, espiral logarítmica, parábola, parábola semicubica y la línea recta.

[editar] Métodos Históricos

[editar] Antigüedad

A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto una Aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un Método de agotamiento, pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones posibles, se hicieron como ya es común en el cálculo, a través de aproximación. Inmediatamente los matemáticos de la época empezaron a trazar polígonos dentro de la curva, y así calcular la longitud de los lados de éste para obtener una longitud aproximada de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, y se disminuía la longitud de cada segmento, se obtenía una aproximación cada vez mejor.

[editar] 1600s

En esta época, el método de agotamiento llevó a la rectificación por métodos geométricos de muchas curvas trascendentales: la Espiral logarítmica de [Torricelli]] en 1645 (algunos piensan que fue John Wallis en 1650), el Cicloide de Christopher Wren en 1658, y la Catenaria de Gottfried leibniz en 1691