Problema de los tres cuerpos

De Wikipedia, la enciclopedia libre

El problema de los tres cuerpos consiste en determinar en cualquier instante las posiciones y velocidades de tres cuerpos, de cualesquier masa, sometidos a su atracción mútua y partiendo de unas posiciones y velocidades dadas (sus condiciones iniciales que son 18 valores).

Mientras que el problema de los dos cuerpos tiene solución, el problema de tres cuerpos no tiene solución general y en algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físico del término, que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes.

En general, el problema de los tres cuerpos (y el problema de los n-cuerpos para el n > 3) no puede resolverse por el método de integrales primeras. Como demostró el matemático francés Henri Poincaré no existe una fórmula que lo rija. Esto es de las 18 integrales de movimiento sólo 10 pueden ser resueltos por las leyes de conservación. Además de estas 10 integrales no existen ninguna otra integral que sea algebraicamente independiente. Estos resultados no implican sin embargo que no existe una solución general del problema de los tres cuerpos, pues se puede desarrollar una solución como una serie. De hecho Sundman proporcionó en 1909 una solución pero por medio de una serie convergente.

Este problema no surge como un problema teórico, pues el sistema Tierra-Luna-Sol es un caso muy próximo del problema. Charles Delaunay estudió entre 1860 y 1867 dicho sistema y publicó dos volúmenes sobre el tema, cada uno de 900 páginas de longitud. Entre muchos otros logros, en su trabajo aparece ya el caos, y aplica la teoría de la perturbación, que consiste en resolverlo como un problema de dos cuerpos y considerar que el tercero perturba la posición de los otros dos.

Se trata de un caso de inestabilidad, denominado el problema teórico fundamental de la Estabilidad del Equilibrio, un fenómeno que en términos actuales puede denominarse movimiento caótico y que no pudo ser abordado sino hasta 1949 cuando el matemático José Luis Massera lo caracterizó en términos de las Funciones de Lyapunov.

[editar] El problema de los tres cuerpos restringido o de Euler

El problema de los tres cuerpo restringido asume que la masa de uno de los cuerpos es despreciable; el problema de los tres cuerpos restringido circular es un caso especial en que se asume que dos de los cuerpos están órbitas circulares (lo cual es aproximadamente cierto para el sistema Sol - Tierra - Luna). Para una discusión del caso dónde el cuerpo despreciable es un satélite del cuerpo de masa menor, ver la Esfera de Hill; para los sistemas binarios, ver el lóbulo de Roche; para soluciones estables del sistema, ver Puntos de Lagrange.

El problema restringido (circular y elíptico) fue estudiado extensamente por muchos matemáticos y físicos famosos, como Lagrange en el siglo 18 y Henri Poincaré al final del siglo 19. En el problema circular, existen cinco puntos de equilibrio llamados Puntos de Lagrange. Tres de estos puntos son colineales con las masas principales y son inestables. Los otros dos se localizan en el tercer vértice formando con las dos masas principales triángulos equiláteros. Estos puntos son estables. En el sistema Sol- Jupiter los puntos de lagrangianos están en la misma órbita de Júpiter pero 60º por delante o por detrás y forman con el Sol y Júpiter dos triángulos equiláteros. El que estos puntos estén ocupados por los asteroides troyanos constituye una bella confirmación.