Puntos de Lagrange
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Los puntos de Lagrange , también denominados L-puntos o puntos de libración, son las cinco posiciones en el espacio interplanetario donde un objeto pequeño sólo afectado por la gravedad puede estar teóricamente estacionario respecto a dos objetos más grandes, como es el caso de un satélite artificial con respecto a la Tierra y la Luna. Los Puntos de Lagrange marcan las posiciones donde la fuerza gravitatoria de las dos masas grandes proveen la fuerza centrípeta necesaria para rotar sincrónicamente con la menor de ellas. Son análogos a las órbitas geosincrónicas que permiten a un objeto estar en una posición "fija" en el espacio en lugar de una órbita en que su posición relativa cambia continuamente.
Una definición más precisa pero técnica es que los puntos lagrangianos son las soluciones estacionarias del Problema de los tres cuerpos restringido a circunferencias. Si, por ejemplo, se tienen dos cuerpos grandes en órbita alrededor de su centro de masas, común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa despreciable frente a los otros dos, puede estar situado y mantener su posición relativa respecto a los dos cuerpos grandes. Visto desde un sistema de referencia giratorio que rota con el mismo período que los dos cuerpos co-orbitales, el campo gravitatorio de dos cuerpos grandes combinado con la fuerza centrífuga está en equilibrio en los Puntos de Lagrange, permitiendo al tercer cuerpo estar estacionario con respecto a los dos primeros.
Tabla de contenidos |
[editar] La historia y conceptos
En 1772 el matemático ítalo-francés Joseph Louis Lagrange estaba trabajando en el célebre Problema de los tres cuerpos cuando descubrió esta solución estacionaria. Originalmente, él quería descubrir una manera de calcular la interacción gravitatoria entre un número arbitrario de cuerpos en un sistema. La mecánica newtoniana resuelve bien la posición de dos cuerpos que orbitan alrededor del centro común de gravedad. Sin embargo, si se introduce un tercer cuerpo los cálculos matemáticos son muy complicados. Una situación en la que se tendría que calcular la suma de todas las interacciones gravitatorias sobre cada objeto en cada punto a lo largo de su trayectoria.
Sin embargo, Lagrange quiso hacer esto más simple mediante una simple conclusión: La trayectoria de un objeto es determinada encontrando un camino que minimiza la acción con el tiempo. Esto se encuentra substrayendo la energía potencial de la energía cinética. Con esta manera de pensar, Lagrange reformuló la mecánica de Newton clásica para dar lugar a la mecánica lagrangiana. Con su nueva forma de calcular, el trabajo de Lagrange lo llevó a la hipótesis de que un tercer cuerpo de masa despreciable orbitaría alrededor de dos cuerpos más grandes que ya estaban orbitando entre sí, y que en puntos específicos en su órbita se volvería estacionario respecto a el Sol y uno de los planetas. Estos puntos fueron llamados puntos de Lagrange en su honor.
En el caso más general de órbitas elípticas no hay puntos estacionarios sino que se trata de un "área". Los puntos de Lagrange constituyen en cada instante un punto que corresponde en cada instante a un hipotética órbita circular. Esto se debe a la segunda ley de Newton (
), dónde p = mv (p es la cantidad de movimiento, m la masa y v la velocidad). p es un invariante si la fuerza y posición se multiplican por un mismo factor. Un cuerpo en un punto de Lagrange orbita con el mismo período que los dos cuerpos en el caso circular, implicando que tiene la misma proporción entre la fuerza gravitatoria y la distancia radial. Este hecho es independiente de la circularidad de las órbitas e implica que para las órbitas elípticas los puntos de Lagrange son soluciones de la ecuación de movimiento del tercer cuerpo.
[editar] Complicaciones a las leyes de Kepler
Tanto la Tierra como el Sol se influencian mutuamente a través de sus fuerzas gravitacionales. Esto hace que, si bien el Sol causa mareas sobre la Tierra, ésta a su vez causa perturbaciones en el movimiento del Sol. De hecho ambos cuerpos (el sistema Sol-Tierra) se mueven alrededor de un punto llamado centro de masas o baricentro, que está ubicado cerca de la superficie solar. Por otra parte, debido a que la masa de un satélite artificial es insignificante respecto de los cuerpos mencionados, no tiene influencia alguna sobre éstos.
Las Leyes de Kepler describen de forma simple el comportamiento de dos cuerpos orbitando uno alrededor del otro. La tercera ley que dice que el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol. Por esta razón, el aumento del radio da lugar a un incremento del período orbital, por tanto, dos cuerpos situados a diferentes distancias del Sol nunca tendrán un movimiento sincronizado.
Las simplicidades de las leyes de Kepler no son válidas si se tienen en cuenta las interacciones de varios cuerpos, como sucede en el Sistema Solar. Incluso si se considerara un grupo de tres, el Sol, la Tierra y un satélite artificial, las predicciones se complican. Así un satélite situado en la línea Sol-Tierra y entre ellos debería tener un periodo orbital menor de 1 año, pero si está a la distancia de 1,5 millones de km de la Tierra, en lo que luego se llamará L1, la atracción de la Tierra disminuye la atracción solar y su periodo es el mismo que el de la Tierra. Menor distancia no significa menor periodo.
[editar] Los puntos de Lagrange
Los cinco puntos lagrangianos se llaman y definen como sigue:
[editar] El punto L1
El punto L1 está entre las dos masas grandes M1 y M2.
- Ejemplo: Un objeto que orbite alrededor del Sol más cerca que la Tierra tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero eso ignora el efecto de atracción gravitatoria de la Tierra. Si el objeto está directamente entre la Tierra y el Sol, entonces el efecto de la gravedad de la Tierra es debilitar la fuerza que tira el objeto hacia el Sol y, por lo tanto, aumenta el período orbital del objeto. Cuanto más cerca está el objeto a la Tierra, mayor es el efecto. En el punto L1, el período orbital del objeto es precisamente igual al período orbital de la Tierra.
El punto L1 del sistema Sol-Tierra es ideal para hacer observaciones del Sol. Los objetos aquí situados nunca son eclipsados por la Tierra o la Luna. El Observatorio Solar y de la Helioesfera (SOHO) se estaciona en punto L1, y el Advanced Composition Explorer (ACE) está en una órbita Lissajous alrededor también del punto L1. El punto L1 del sistema Tierra-Luna permite un acceso fácil a la órbita lunar y de la Tierra con un mínimo delta-v, y sería ideal para una estación espacial tripulada a medio camino pensada para ayudar al transporte de carga y personal hacia y desde la Luna.
[editar] El punto L2
El punto L2 está en la línea definida por las dos masas grandes M1 y M2, y más allá del más pequeño de los dos.
- Ejemplo: Un objeto que orbite el Sol más lejos que la Tierra tendría un período orbital más largo que la Tierra. La fuerza adicional de la gravedad de la Tierra disminuye el período orbital del objeto, y el punto L2 es aquel en que el período orbital es igual al de la Tierra.
El punto L2 del sistema Sol-Tierra es un buen punto para los observatorios espaciales, porque un objeto alrededor de L2 mantendrá la misma orientación con respecto al Sol y la Tierra y la calibración será mucho más simple. El Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) ya está en la órbita alrededor del punto L2, del sistema Sol-Tierra. El futuro Observatorio Espacial Herschel, así como el Telescopio Espacial James Webb, se situarán en el punto L2 del sistema Sol- Tierra. El punto L2 del sistema Tierra-Luna sería una buena localización para un satélite de comunicaciones pues cubriría toda la cara oculta de la Luna.
Si M2 es mucho más pequeño que M1, entonces L1 y L2 están a distancias aproximadamente iguales r de M2, igual al radio de la esfera de Hill, dado por:
![r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}](../../../math/a/a/8/aa8238630357939a5327ec9f4eb7b3d4.png)
donde R es la distancia entre los dos cuerpos.
Esta distancia puede describirse como aquella en la que el período orbital correspondiente a una órbita circular con esta distancia alrededor de M2 y en ausencia de M1, es el tiempo que tarda en girar M2 alrededor de M1, dividido por 
.
Ejemplos:
[editar] El punto L3
El punto L3 está en la línea definida por las dos masas grandes M1 y M2, y más allá del más grande de los dos.
- Ejemplo: El punto L3 en el sistema de Sol–Tierra está en el lado opuesto del Sol, un poco más lejos del Sol que la Tierra, pero la fuerza combinada de la Tierra y del Sol hacen que el objeto orbite con el mismo período como la Tierra. El punto L3 en el sistema de Sol–Tierra fue un lugar popular usado para situar una "Contra-Tierra", en los libros de ciencia ficción o en los comics.
[editar] Los puntos L4 y L5
El punto L4 y el punto L5 están formando un triángulo equilátero donde la base es la línea que une las dos masas, de forma que el primer punto está en la órbita del cuerpo más pequeño precediéndole 60º mientras que el segundo está 60º por detrás de la masa más pequeña en su misma órbita alrededor de la masa más grande. La razón de que estos puntos están en equilibrio es que el punto L4 y el punto L5 están a la misma distancia de las dos masas.
- Ejemplos: Los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Tierra, es decir, los puntos que están 60º por delante y detrás de la Tierra y en su misma órbita, sólo contienen polvo interplanetario. Los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Júpiter son los puntos ocupados por los asteroides troyanos. Por esta razón los puntos L4 y L5 se llaman a veces puntos Lagrange triangulares o puntos troyanos. Los asteroides que ocupan el punto L4 reciben los nombres de los guerreros griegos, y de ahí que se les conozcan como los "griegos", mientras que los que siguen a Júpiter, punto L5, recibieron nombres de los defensores de la ciudad de Troya, y familiarmente se les designan como los "troyanos".
[editar] Estabilidad
Los primeros tres puntos de Lagrange son técnicamente estables sólo en el plano perpendicular a la línea entre los dos cuerpos. Esto puede verse más fácilmente considerando el punto L1. Una masa de prueba desplazada perpendicularmente de la línea central sentiría una fuerza atrayéndola hacia el punto de equilibrio. Esto es así porque las componentes laterales de la gravedad de las dos masas se suman para producir esta fuerza, mientras que las componentes a lo largo del eje se anulan. Sin embargo, si un objeto situado en el punto L1 fuera llevado hacia una de las masas, la atracción gravitatoria que siente por esa masa sería más grande, y sería atraído hacia ella (el modelo es muy similar al de la fuerza de marea).
Aunque los puntos L1, L2 y L3 son nominalmente inestables, resulta que es posible encontrar órbitas periódicas estables alrededor de estos puntos, por lo menos en el problema restringido de los tres-cuerpos. Estas órbitas perfectamente periódicas, denominadas órbitas de "halo", no existen en un sistema dinámico de n-cuerpos como el Sistema Solar. Sin embargo, sí existen las órbitas Lissajous cuasi-periódicas, y son las órbitas que se han usado en todas las misiones espaciales a los puntos de libración. Aunque las órbitas no son perfectamente estables, un esfuerzo relativamente modesto lo mantiene en la órbita Lissajous durante un largo período de tiempo. También resulta útil en el caso del punto L1 del sistema Sol-Tierra poner la nave espacial en una órbita Lissajous de amplitud grande (100.000–200.000 km) en lugar de estacionarlo en el punto de la libración, porque esto mantiene la nave espacial fuera de la línea del Sol-Tierra directa y por eso reduce las interferencias solares en las comunicaciones de la Tierra con la nave espacial.
Otra propiedad útil e interesante de los puntos de equilibrio colineales y sus órbitas de Lissajous asociadas es que ellos sirven como puertas de acceso para controlar las trayectorias caóticas de una red de transporte interplanetario.
En contraste con la inestabilidad de los puntos colineales, los puntos triangulares (L4 y L5) tienen un equilibrio estable (ver atractor), con tal que la razón de las masas M1/M2 es > 24,96. Éste es el caso para los sistemas Sol/Tierra y Tierra/Luna, aunque por un margen menor en el último caso. Cuando un cuerpo en estos puntos es perturbado y se mueve fuera del punto, actúa un Efecto Coriolis que lo devuelve al punto.
[editar] Las misiones espaciales en los puntos de libración
Las órbitas en los puntos de libración tienen características únicas que les han hecho una opción buena por realizar algunos tipos de misiones. La NASA ha enviado varias naves espaciales a los puntos L1 y L2 del sistema Sol-Tierra:
| Misión | Punto de Libración |
|---|---|
| Advanced Composition Explorer(ACE) |
L1
|
| Génesis |
L1
|
| International Cometary Explorer (ISEE-3) |
L1
|
| Observatorio Solar Helioesférico (SOHO)]] |
L1
|
| Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) |
L2
|
La Sociedad de L5 es un precursor de la Sociedad Espacial Nacional, y promovió la posibilidad de establecer una colonia en los puntos alrededor del L4 o L5 del sistema de Tierra Luna (ver colonización espacial).
[editar] Los ejemplos naturales
En el sistema Sol–Júpiter hay varios miles de asteroides, llamados asteroide troyanos, que están en las órbitas alrededor del Sol, en los puntos L4 o L5 del sistema Sol–Júpiter. Pueden encontrarse otros cuerpos en los mismos puntos de los sistemas Sol–Saturno, Sol–Marte, Sol-Neptuno, Júpiter– satélites Jovianos, y Saturno-satélites de Saturno. No hay ningún cuerpo grande conocido en los puntos Troyanos del sistema de Sol–Tierra, pero en los años 1950 se descubrieron nubes de polvo que rodean los puntos L4 y L5. A estas nubes de polvo se las llamó Nubes de Kordylewski, y aun más débil el gegenschein, también está presente en el punto L4 y L5 del sistema Tierra–Luna.
La luna de Saturno Tethys tiene dos lunas más pequeñas en sus puntos L4 y L5 llamadas Telesto y Calypso. La luna de Saturno Dione también tiene dos satélites lagrangianos co-orbitals, Helena en su punto L4 y Pollux en L5. Las lunas oscilan alrededor de los puntos de Lagrange, y Polydeuces tiene las desviaciones más grandes, alejándose hasta 32 grados del punto L5 del sistema Saturno–Dione. Tethys y Dione son centenares de veces más grandes que sus "escoltas" (ver los artículos de las lunas para las dimensiones exactas; las masas no son conocidas en varios casos), y Saturno todavía es más macizo que hace muy estable el sistema.
[editar] Otros ejemplos co-orbitales
La Tierra tiene un compañero (3753) Cruithne que tiene una órbita similar a la de la Tierra. No es un verdadero Troyano. Más bien, ocupa una de las dos órbitas solares regulares, siendo alternando periódicamente cuando se acerca a la Tierra. Con los acercamientos del asteroide a la Tierra, por el interior de la órbita de la Tierra, toma energía orbital de la Tierra y se mueve en una órbita de energía más grande, más alta. Luego la Tierra alcanza al asteroide (que está en una órbita más grande y por tanto más lenta) ahora es la Tierra la que toma energía y hace caer al asteroide a una órbita más pequeña, y más rápida y en el futuro será el asteroide el que cogerá a la Tierra para empezar el ciclo nuevamente. Esto no tiene el impacto notable en la longitud del año, porque la masa de Tierra es más de 20.000 millones de veces más pesada que 3753 Cruithne.
Los satélites de Saturno Epimeteo y Jano tienen una relación similar, aunque ellos son de masas similares y realmente intercambian su órbita entre sí periódicamente (Janus es aproximadamente 4 veces más macizo, pero no es suficiente para que su órbita sea alterada). Otra configuración similar conocida como la resonancia orbital hace que los cuerpos tienden a tener períodos que están en relaciones sencillas con otros más grandes debido a su interacción.
[editar] Véase también
- Lista de objetos en los puntos de Lagrange
- Problema de los dos cuerpos
- Problema de los tres cuerpos
- Esfera de Hill
- Nubes de Kordylewski
- La hipótesis de impacto gigante
