Resolución numérica de ecuaciones no lineales
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Un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico ó algoritmo para encontrar los valores x tales que f(x) = 0, para una función matemática dada. Ese valor x es llamado raíz (matemáticas). Encontrar una raíz para f − g es análogo a resolver la ecuación f(x) = g(x).
Este artículo trata sobre encontrar raíces reales ó complejas, aproximadas por números de punto flotante.
Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales usan iteraciones que producen una sucesión de números que, se espera, que converja a un límite, que es la raíz. El primer valor es llamado, aproximación inicial. Estos métodos computan los valores actuales en base a los anteriores.
El comportamiento de los algoritmos de búsqueda de raíces es estudiado en análisis numérico. Funcionan mejor cuando se toman en cuenta las características de la función. Para saber que método debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numéricos graves y orden de convergencia
[editar] Algoritmos específicos
El algoritmo más simple de búsqueda de raíces es el método de bisección. Requiere que f sea una función continua y conocer 2 aproximaciones iniciales razonables a y b, tales que f(a) y f(b) tengan distinto signo. A pesar de ser un método muy confible, converge muy lentamente.
El método de Newton asume que la función f sea continuamente derivable. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que la bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de digitos correctos se duplica en cada iteración. El método de Newton también es util porque se generaliza para problemas de dimensiones más altas.
Reemplazando la derivada del método de Newton por un cociente incremental, obtenemos el método de la secante. Este método no requiere el cálculo (ni la existencia) de la derivada, pero el precio que se debe pagar es un orden de convergencia más bajo (aproximadamente 1.6)
El método de la regla falsa (o Regula Falsi) es como el método de bisección. Sin embargo, no corta el intervalo en dos partes iguales, sino que lo divide de acuerdo a la raíz de la recta secante. Este método combina lo mejor de los métodos anteriores.
Finalmente, los métodos de punto fijo (se trata de hecho, de una familia de métodos). Este método se basa en hacer que la raíz se convierta en un punto fijo e iterando hasta que se alcance. Este método resulta muy fácil de computar, pero puede resultar complicado (ó, eventualmente, imposible) encontrar una función con un punto fijo en la raíz.
