Serie de Fourier

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En matemáticas, se llama serie de Fourier, a aquella de la forma:

$y(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\operatorname{sen}(nx)\right],$ donde

a n

b n

se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función y(x).

Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Tabla de contenidos

1 Teorema De Dirichlet: Convergencia a una función periódica
2 Forma exponencial
3 Aplicaciones
- 3.1 Ingeniería
4 Algunas consecuencias positivas de las propiedades de homomorfismo de exp
5 Formulación general
6 Véase también
7 Enlaces externos

[editar] Teorema De Dirichlet: Convergencia a una función periódica

Si f(x) es una función periódica acotada, que para cualquier periodo tiene como máximo un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p y $a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \cos \frac{n \pi x} {p} dx$ , y $b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x} {p} dx$ entonces la serie converge a f(x).

[editar] Forma exponencial

Por la identidad de Euler( $e^{ix} = \cos(x)+ i \operatorname{sen}(x)$ ), y operando adecuadamente, si

$C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.$

la serie de fourier se la puede expresar como la suma de dos series:

$\sum_{n=0}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}.$

En forma más compacta:

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}$

[editar] Aplicaciones

Completar

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal
Reforzamiento de señales.

[editar] Ingeniería

Es común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

$C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t)\,e^{-in\omega\,t}\,dt.$

Por lo tanto:

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{in\omega\,t}$

[editar] Algunas consecuencias positivas de las propiedades de homomorfismo de exp

Debido a que las "funciones base" e^ikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:

Si $g (x) = f (x - y)$ entonces $\hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)$
La transformada de Fourier es un morfismo: $(f*g) \hat{ } (k)=\hat f(k) \hat g(k)$ -- esto es, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.

[editar] Formulación general

Las útiles propiedades de las series de Fourier son debidas principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones e^{i n x}.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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Categoría: Análisis matemático