Teorema de Wilson
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En matemáticas, el teorema de Wilson afirma que si p es un número primo, entonces:
El recíproco también es cierto, por lo que puede afirmarse que un número a > 1 es primo si y sólo si 
. Sin embargo, sólo la implicación de arriba es conocida como Teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson).
[editar] Historia
Fue atribuido a John Wilson por Edward Waring, quien en 1770 realizó un comentario acerca de que Wilson había dejado anotado el resultado. No hay evidencia de que Wilson hubiese hallado la prueba, y ciertamente Waring no la halló. Fue Lagrange quien, en 1771 dio la primera prueba. Con toda propiedad, el teorema debe ser atribuido a Abu 'Ali al-Hasan ibn al-Haytham, llamado en Occidente Alhazen, quien lo formuló a comienzos del siglo XI.
[editar] Demostración
Sea p un número primo. Consideremos el polinomio
Recordemos que si f(x) es un polinomio no nulo de grado d sobre un cuerpo F, entonces f(x) tiene un máximo de d raíces en F, y recordemos que el conjunto de todos los restos módulo un primo, con las operaciones de suma y multiplicación, es un cuerpo. Ahora, siendo g(x) como arriba, sea el polinomio
Puesto que los coeficientes de mayor orden se cancelan, f(x) es un polinomio de grado p − 2 como mucho. Por tanto, si tomamos restos módulo p, f(x) tendrá a lo sumo p − 2 raíces módulo p. Sin embargo, a la vista de la definición de f(x), del pequeño teorema de Fermat se sigue que cada elemento 1, 2, ..., p − 1 es una raíz de f(x) (por lo que, a fortiori, es una raíz de f(x) módulo p). Esto es imposible a menos que f(x) sea idénticamente cero módulo p, esto es, a menos que cada coeficiente de f(x) sea divisible por p.
Dado que el término constante de f(x) es justamente (p − 1)! + 1, hemos obtenido el resultado que buscábamos.
