Una demostración del teorema de los residuos

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Sea $f$ holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial $f(z)\,dz$ es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral $\int_C f(z)\, dz$ es igual a $\int_{C'} f(z)\, dz$ siempre que $C'$ sea una curva homotópica con $C$ .

En específico, podemos considerar una curva tipo $C'$ la cual tiene una rotación alrededor de los puntos $a j$ sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva $C'$ sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de $f$ alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea $z = a j + ρ e i θ$ parametrización de la curva alrededor del punto $a j$ , entonces tendremos $dz=\rho i e^{i\theta}\, d \theta$ ; por lo tanto,

$\int_C f(z)\, dz = \int_{C'} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j)\int_{\partial B_\rho(a_j)} f(z)\, dz$ $= \sum_j \eta(C,a_j) \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta}) \rho i e^{i\theta}\, d\theta$

donde $ρ > 0$ escogemos tan extremadamente diminuto tal que las esferas $B ρ (a j)$ están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio $U$ . Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, esto demuestra que para toda $j$

$i\int_0^{2\pi} f(a_j+e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = 2\pi i \mathrm{Res}(f,a_j).$

Sea $j$ fija y apliquemos la serie de Laurent para $f$ en $a j :$ $f(z)= \sum_{k\in \mathbb Z} c_k (z-a_j)^k$

de tal forma que $r m R e s (f, a j) = c - 1$ .

Entonces tenemos $\int_0^{2\pi} f(a_j+e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = \sum_k \int_0^{2\pi} c_k (\rho e^{i\theta})^k \rho e^{i\theta}\, d\theta$ $=\rho^{k+1} \sum_k c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta.$

Observemos que si $k = - 1$ , tendremos $\rho^{k+1} c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = c_{-1}int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi c_{-1} = 2\pi \,\mathrm{Res}(f,a_j)$