Aksjomaty Zermelo-Fraenkela

Z Wikipedii

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (w skrócie ZF) - powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez E. Zermelo w 1904 r., a uzupełniony i zmodyfikowany przez A. A. Fraenkla. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o pewnik wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.

[edytuj] Spis aksjomatów

Dla uproszczenia zapisu używany będzie skrót na oznaczenie formuły wyrażającej własność "istnieje dokładnie jeden taki y, że zachodzi W(y)". Jedna z równoważnych (w sensie rachunku predykatów) definicji tego skrótu to:

.

• Aksjomat ekstensjonalności

Jeżeli zbiory A i B mają te same elementy, to są identyczne.

• Aksjomat zbioru pustego

Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu.

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór o tej własności. Zbiór ten nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy przez .

• Aksjomaty wyróżniania (nazywane również aksjomatem podzbiorów)

Dla każdego zbioru B istnieje zbiór A, złożony z tych i tylko tych elementów x zbioru B, które mają własność .

• Aksjomat pary

Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór C, którego elementami są dokładnie zbiory A oraz B.

• Aksjomat sumy

Dla dowolnej rodziny zbiorów R istnieje zbiór U, do którego należą dokładnie te zbiory x, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny R.

• Aksjomat zbioru potęgowego

Dla każdego zbioru X istnieje zbiór P, którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru X.

• Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór induktywny.

Istnieje wiele takich zbiorów. Iloczyn wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

• Aksjomat wyboru

Dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów istnieje funkcja wyboru, to znaczy funkcja taka, że dla wszystkich .

Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku.

• Aksjomaty zastępowania (słabszą jego wersją jest aksjomat wycinania).

Jeżeli dla każdego x istnieje dokładnie jeden y, dla którego zachodzi Θ(x,y), to dla dowolnego zbioru X istnieje taki zbiór Y, że .

• Aksjomat regularności (ufundowania)

Każdy niepusty zbiór X ma element rozłączny z X.

Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów, czasem rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

[edytuj] Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, Warszawa 2005, Wydawnictwo Naukowe PWN, ISBN 83-01-14415-7.
• Agnieszka Wojciechowska, Elementy logiki i teorii mnogości, Warszawa 1979, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, ISBN 83-01-00756-7.