Aksjomat ekstensjonalności

Z Wikipedii

Aksjomat ekstensjonalności - jeden z aksjomatów Zermelo-Fraenkela w aksjomatycznej teorii mnogości, sformułowany przez Ernsta Zermelo w 1908^[1]^[2]. Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne.

Formalnie, aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\{\in\})$ (gdzie $\in$ jest binarnym symbolem relacyjnym):

$\Big(\forall x\Big)\Big(\forall y\Big)\Big((\forall z) (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y)\Big)$ .

[edytuj] Interpretacja

Aksjomat ekstensjonalności postuluje, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:

dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.

Zatem każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy. W szczególności jeśli $\varphi(x)$ jest formułą języka teorii mnogości ${\mathcal L}(\{\in\})$ i wiemy, że istnieje zbiór złożony ze wszystkich obiektów $a$ , dla których jest spełnione $\varphi(a)$ , to zbiór ten jest wyznaczony jednoznacznie. Pisząc " $\{x:\varphi(x)\}$ " na oznaczenie tego zbioru, odwołujemy się także do aksjomatu ekstensjonalności.

Czasami aksjomat ekstensjonalności podaje się jako stwierdzenie, że relacja należenia jest ekstensjonalna. Przypomnijmy, że relacja dwuczłonowa $R$ na zbiorze X jest ekstensjonalna, gdy następujący warunek jest spełniony:

dla wszystkich $x,y\in X$ , jeśli $(\forall z\in X)(z\; R\; x\Leftrightarrow z\; R\; y)$ to

x = y

(Warto wspomnieć, że twierdzenie Mostowskiego o kolapsie stwierdza, że każda relacja dobrze ufundowana i ekstensjonalna jest izomorficzna z relacją należenia ograniczoną do pewnego zbioru przechodniego.)

[edytuj] Inne sformułowania aksjomatu

Logikę pierwszego rzędu można rozwijać bez użycia symbolu równości jako jednego z symboli logicznych. Przy tym podejściu nie możemy w sformułowaniu aksjomatu napisać $x = y$ i wtedy aksjomat extensjonalności formułuje się w następujący, bardziej skomplikowany sposób:

$\Big(\forall x\Big)\Big(\forall y\Big)\Big((\forall z) (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow (\forall w)(x\in w \Leftrightarrow y\in w)\Big)$ .

W teorii mnogości z urelementami aksjomat ekstensjonalności formułuje się tylko w odniesieniu do zbiorów.
W teorii klas (zarówno Kelley'a-Morse'a jak i NBG) również formułuje się odpowiedni askjomat extensjonalności. John L. Kelley^[3] podaje ten aksjomat jako pierwszy na jego liście. Postulat ten może być wyrażony za pomocą tej samej fomuły co podana przez nas wcześniej, ale znaczenie teraz jest, że klasy o tych samych elementach są równe. W systemie von Neumanna-Bernaysa-Gödla formułuje się dwa postulaty: ekstensjonalność dla klas i ekstensjonalność dla zbiorów.

Przypisy

↑ Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. "Math. Ann." 65 (1908), strony 261-281.
↑ Jech, Thomas: Set theory. Wydanie drugie. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-63048-1. Strony 1 oraz 579.
↑ Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6