Aksjomaty oddzielania

Z Wikipedii

Przedstawieni graficzne aksjomatu oddzielania

Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.

Warto zauważyć, że w początkowym okresie rozwoju topologii niektóre z aksjomatów oddzielania były sugerowane jako jedne z warunków definiujących przestrzenie topologiczne. Na przykład Felix Hausdorff postulował, aby przestrzenie topologiczne spełniały warunek T₂ (patrz poniżej).

W literaturze topologicznej występuje znaczna ilość własności, które są określane jako aksjomaty oddzielania (przynajmniej przez ich autorów). Niestety, nie ma jednomyślności co do stosowanej terminologii i pewne nazwy mogą być używane w różnych znaczeniach. Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce.

[edytuj] Ciąg główny aksjomatów oddzielania

Wśród wielu własności oddzielania rozważanych w topologii specjalną pozycję zajmują aksjomaty oznaczane $T i$ . Litera T pochodzi od niemieckiego słowa Trennung (oddzielanie), a indeksy $i$ wskazują jak silną jest rozważana własność. Dość ogólnie akceptowaną regułą jest, że większa wartość indeksu $i$ wskazuje na silniejszy aksjomat. Ta niepisana reguła ma także wpływ na większą jednoznaczność nazewnictwa i w zasadzie znaczenie każdego z aksjomatów $T i$ jest ustalone.

Niech $τ$ będzie topologią na zbiorze $X$ . Powiemy, że przestrzeń topologiczna $(X,τ)$ spełnia aksjomat:

T₀, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty w

X

, który zawiera dokładnie jeden z tych punktów;

T₁, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty $U\subseteq X$ taki, że $x\in U$ , ale $y\notin U$ ;

T₂, jeśli

dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieją rozłączne zbiory otwarte $U\subseteq X$ i $V\subseteq X$ takie, że $x\in U$ i $y\in V$ ;

T₃, jeśli

X

spełnia aksjomat

T 1

i dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $x\in U$ i $F\subseteq V$ ;

T_{3 1/2}, jeśli

X

spełnia aksjomat

T 1

i dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć funkcję ciągłą $f:X\longrightarrow [0,1]$ taką, że

f (x) = 0

f (y) = 1

dla wszystkich punktów $y\in F$ ;

T₄, jeśli

X

spełnia aksjomat

T 1

i dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych $E,F\subseteq X$ (czyli $E\cap F=\emptyset$ ) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $E\subseteq U$ i $F\subseteq V$ ;

T₅, jeśli

każda podprzestrzeń przestrzeni

X

spełnia aksjomat

T 4

;

T₆, jeśli

X

spełnia aksjomat

T 4

i każdy domknięty podzbiór

X

jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Często zamiast mówić "przestrzeń spełnia aksjomat $T 0$ " mówimy po prostu, że jest $T 0$ . Analogicznie dla pozostałych aksjomatów.

[edytuj] Własności i przykłady

Każda przestrzeń metryczna jest $T 6$ .
Zachodzą następujące implikacje:

$T_6\Rightarrow T_5\Rightarrow T_4\Rightarrow T_{3\frac{1}{2}}\Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$ ,

gdzie $T_i\Rightarrow T_j$ należy interpretować jako stwierdzenie, że każda przestrzeń topologiczna spełniająca aksjomat $T i$ spełnia także aksjomat $T j$ . Żadna z powyższych implikacji nie może być zastąpiona przez równoważność.

Aksjomaty $T_0,T_1,T_2,T_3,T_{3{1\over2}},T_5, T_6$ są własnościami dziedzicznymi. Natomiast własność $T 4$ nie jest dziedziczna, co właśnie było powodem do wprowadzenia aksjomatu $T 5$ , czyli dziedzicznej normalności.
Następujące dwa twierdzenia wyjaśniają, dlaczego własności $T 5, T 6$ są zaliczane do aksjomatów oddzielania:

Przestrzeń T₁

X

spełnia aksjomat

T 5

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów $A,B\subseteq X$ takich, że $A\cap{\rm cl}(B)=\emptyset={\rm cl}(A)\cap B$ istnieją zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie, że $A\subseteq U$ , $B\subseteq V$ i $U\cap V=\emptyset$